ГИА. Модуль Алгебра. Задание 2. Числовая прямая


 

Это задание на понимание расположения точек на числовой прямой.

Но мало уметь ставить точки на числовой прямой и находить координаты точек.

 


Еще надо знать:

  • правила действий с положительными и отрицательными числами,
  • свойства неравенств, понимать, как из одного неравенства получить тождественное ему или следуемое из него
  • Уметь сравнивать иррациональные числа с целыми и дробными и находить их положение на числовой прямой.
  • Вы повторите эти свойства и правила при разборе заданий - прототипов.

 

 

 Теоретический минимум

 

Свойства неравенств

 

1) Если а > b и b > с, то a > с (транзитивность)

2) Если а > b, то при любом с  верно  а + с > b + c.

3) Если a + b > c, то a > b - c , иначе любое слагаемое можно перенсить из одной части неравенства в другую, изменяя при этом знак слагаемого на противоположный.

4) Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. можно почленно складывать неравенства одного и того же знака.

5) Если а > b, то при с > 0 верно ас > bc, а при с < 0 верно ас < bc. Т.е. при умножении обеих частей неравенства ни положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

6) Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd, т. е. если все члены двух неравенств одинакового знака положительны, то можно почленно умножать левые и правые части этих неравенств.

7) Если a ≥ b > 0 и c > d > 0, то a/d > b/c  (деление неравенств).

8) Если а > b > 0, то an > bn (где n - натуральное  число).

9) Если а > b > 0, то √a>√b.

 


 Разбор заданий

 

Задача 1

Решение:

Т.к. m < 0, то 2m < m < 0. Этому условию удовлетворяет только рис 1. 

m² > 0, что соответствует его расположению на этом рисунке.

Ответ: 1.

 

Задача 2.

Решение:

По рисунку определяем, что a < 0 < b < c.

1) ab < 0, т.к. a  и b разных знаков.

2) b - c < 0, т.к. из меньшего положительного числа вычитается большее положительное число.

3) b - a > 0, т.к. если из положительного числа вычесть отрицательное, то получится то же самое, как если к положительному числу прибавить положительное. Т.о. утверждение в условии не верно.

4) abc < 0 верно, т.к. 2 множителя положительны и один множитель отрицателен.

Ответ: 3.

 

 

 Задача 3.

Решение:

По рисунку определяем, что 0 < A < B < 1 < 2 < C < 3 < D < 4/

2 < 2/3 π < 3 - точка С

0<2/3<1 - точка А или В

3<π<4 - точка D

1/3 < √2/3 < 2/3 - точка А или В.

√2/3 < 2/3, значит числу √2/3 соответствует точка А, а числу  2/3 - точка В.

Ответ: А4 В2 С1 D3/

 

 

Задача 4. 

Решение:

Если a > b,  то  a - b > 0.

Тогда  

1) a - b > -3 верно,

2) b - a < 0 и b - a > 1 не верно

3) b - a < 2 верно

Верный ответ по номером 3.

Ответ: 3

 

Задача 5.

Решение:

a < с

1) Неравенство a - 3 < с - 3 верно, т.к. получается из данного вычитанием одного и того же числа из обеих его частей.

2) Неравенство a + 5 < с +5 верно,  т.к. получается из данного прибавлением одного и того же числа к обеим его частям.

3) Неравенство a/4 < с/4 верно, т.к. получается из данного делением на одно и то же положительное число обеих его частей.

4) Неравенство  - a/4 < - с/4 не верно, т.к. получается из данного делением на одно и то же отрицательное число обеих его частей (следует поменять знак неравенства)

Ответ: 4.

 

 

Задача 6.

Решение:

Из условия следует, что a<b=c<d

Тогда d>a

Ответ: 2.

 

 

Задача 7.

Решение:

1) y>x+z cледует из неравенства y-x>z, т.к. его можно получить переносом х в правую часть.

2) y-x-z<0 не следует, т.к. если перенести все слагаемые из правой части в левую, то знак неравенства не должен поменяться.

3) z+x-y<0 следует, т.к. достаточно перенести все слагаемые в правую часть поменять местами части неравенства, и получим новое неравенство 3).

4)y-z>x следует, т.к его можно получить из исходного неравенства, перенеся слагаемые x и  z в другие части.

Ответ: 2.

 

 

Задача 8. 

Решение:

По рисунку видно, что точка А имеет координату, находящуюся между числами 1,5 и 2.

Из предложенного списка чисел между 1 и 2 лежат числа √2 и √3.

(2 < √7 < 3,        3 < √11 < 4).

При этом √2  < 1,5 <  √3.

Значит, это число √3.

Ответ: √3.

 

 

Задача 9.

Решение.

Заметим: 7<A<B<8<С<D<9

Ближайшие к 77 квадраты целых чисел - это 64 (квадрат 8) и 81 (квадрат 9).

64 < 77 < 81, значит √64<√77<√81

Следовательно, 8<√77<9.

Но между 8 и 9 расположены 2 точки:  C и D. Причем, С ближе к 8, а D ближе к 9.

Определим, к какому из чисел 8 или 9 ближе наше число √77.

Т.к. 77 ближе к 81, чем к 64, то и √77 ближе к 9, чем к 8.

Значит, число √77 отмечено точкой D.

Ответ: D.

 

Задача 10.

Решение.

По рисунку замечаем, что a < 0 < b    и    |a| < |b| (расстояние до 0 от точки а меньше, чем от точки b).

1) a² > 0,  b > 0, значит a² b > 0 и утверждение верно.

2) a и b - числа разных знаков, поэтому при сложении вычитаем их модули: из большего модуля |b| вычитаем меньший   |a| и берем знак числа с большим модулем, т.е. знак числа b (плюс). Значит, a + b > 0  верно.

3)  b > 0, значит -b < 0

a < 0. При сложении отрицательных чисел получается отрицательное число, т.е. a - b > 0 не верно.

4) a < 0, значит  - a > 0

b > 0. При сложении положительных чисел получается положительное число, т.е. b - a > 0 верно.

Из всех приведенных утверждений не верным являетя утверждение 3.

Ответ: 3.

 

 

Задача 11.

Решение:

Число 2,3 расположено на координатной прямой между целыми числами 2 и 3 и ближе к 2, чем к 3.

Между этими числами видим на рисунке две точки C и D, причем точка C ближе к 2, точка D ближе к 3.

Значит, число 2,3 изображается точкой С.

Ответ: С.

 

 

Задача 12. 

Решение:

Таких точек - две: P слева от точки А на расстоянии 3 и   S справа от точки А на расстоянии 3.

Ответ: PS

 


 

ВИДЕО задачи демо-варианта

 


Задачи для закрепления.

 

Поработайте над  ними самостоятельно.

Для этого откройте книгу на странице 11 и  решайте предложенные задачи.

Ответы к ним найдете на странице 101.

Успехов!

 

 

 

 

 

 

 


Теперь проверьте, как вы разобрались в теме

Тестирование

Тест 2-1

 

Если вы не смогли своевременно освоить умение решать такие задачи, то обращайтесь за помощью к учителю.

 

Это может быть единовременная консультация,

 

индивидуальные регулярные репетиторские занятия

 


 

Пишите вопросы и комментарии ниже, они не останутся без моего внимания

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.