ЕГЭ. Задание В10. Стереометрические фигуры

Проверяемые требования (умения):  

уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

 
В открытом банке заданий типа В9 присутствуют задачи по темам:



  1. Прямоугольный параллелепипед
  2. Шестиугольная призма
  3. Многогранник
  4. Пирамида
  5. Цилиндр
  6. Конус

___________________________________________________________________________________

 

Объяснительный текст

1. Прямоугольный параллелепипед

 

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

d² = a² + b² + c²

 

Расчет площади и объема

Площадь боковой поверхности: Sб = 2c·(a+b), где a, b – стороны основания, c – боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности: Sп = 2·(a·b+b·c+a·c)

 

Куб

Площадь боковой поверхности: Sб = 4·a2, где а – ребро куба

Площадь полной поверхности: Sп 6·a2

Объём: V = a3

 

 

 

 

 

Задачи на прямоугольный параллелепипед часто бывает удобно решать, введя систему координат. Или векторным методом, используя формулы нахождения расстояний или углов, понятие скалярного произведения векторов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим примеры задач

 

Задача 1

Найдите угол DBD_1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=4AD=3AA_1=5. Ответ дайте в градусах

 

 

Решение

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Из прямоугольного треугольника   ABD по теореме Пифагора находим BD:

BD² = AD²  + AB²  = 16 + 9 = 25

BD = 5.

Заметим, что BD = DD′ = 5.

Из прямоугольного треугольника BDD′  угол  DBD′. Он равен 45°, т.к. треугольник равнобедренный.

Ответ: 45.

 

 

Задача 2.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что BD_1=3CD=2,AD=2. Найдите длину ребра AA_1.

Решение

Находим диагональ прямоугольника, используя теорему

Пифагора:

Ответ: 1.

___________________________________________________________________

 

2. Шестиугольная призма

Основанием призмы может служить любой многоугольник, но в банке заданий пока присутствуют только задачи именно с шестиугольной призмой, в основании которой лежит шестиугольник.

 

 

Рассмотрите таблицы. Вспомните понятия прямой призмы, правильной призмы. Формулы площадей поверхности и объема призмы (на всякий случай).

 

Задача 3.

В правильной шестиугольной призме   все ребра равны 1.

Найдите расстояние между точками В и Е .

Решение

Искомое расстояние - это длина отрезка ВЕ, который является диаметром описанной окружности  правильного шестиугольника, лежащего в основании призмы.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.

Значит BE = 2R = 2 AB = 2

Ответ: 2.

 

Задача 4.

В правильной шестиугольной призме  все ребра равны 1.

Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

Решение

В основании правильной 6-угольной призмы лежит правильный шестиугольник.
В правильном шестиугольнике большая диагональ AD является биссектрисой угла BAF.
В правильном шестиугольнике каждый угол равен 120°.
Тогда угол DAB = 60°.
Ответ: 60.
_________________________________________________________________

3. Многогранник

 

 

 

 

 

Задача 5.

Найдите квадрат расстояния между вершинами D и C2 многогранника, изображенного на рисунке.

 

 

 

 

 

Решение

Все двугранные углы многогранника прямые.

Задача легко решается по теореме пифагора из прямоугольного треугольника  

 

 

Ответ: 5.

Задача 6.

Найдите угол CAD2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах. 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

Треугольник АСD2 - равносторонний, т.к. образован диагоналями равных квадратов.

Поэтому искомый угол равен 60°.

 

 

 

Ответ: 60°.

 

 

Задача 7.

Найдите квадрат расстояния между вершинами  В и D2  многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

 

 

 

 

 

Решение

BD2 является диагональю прямоугольного параллелепипеда, выделенного на рисунке.

По свойству прямоугольного параллелепипеда

 

BD2² = 2²+3²+1² = 14/

 

 

Ответ: 14.

 

________________________________________________________________

 

4. Пирамида

Рассмотрите таблицы.

Вспомните и найдите на рисунках:

 

  • что такое пирамида?
  • что значит пирамида - правильная?
  • Что представляют собой основание пирамиды? боковые ребра? боковые грани? вершина?
  • что такое апофема?
  • как найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды?
  • как вычисляется ее объем?

 

Задача 8.

В правильной четырехугольной пирамиде    SABCD  точка  O— центр основания,        S- вершина, SC=5? AC=6 . Найдите длину отрезка SO.

 

 

 

 

 

 

 

Решение

В правильной пирамиде точка О - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.

AO = OC = 6:2 = 3.

SO находим по теореме Пифагора SO² = 5² - 3² = 16

SO = 4

Ответ: 4.

 

Задача 9.

В правильной треугольной пирамиде SABC, где  R — середина ребра BC, S — вершина, известно, что AB = 1,  SR = 2.

Найдите площадь боковой поверхности.

 

 

Решение

Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине периметра основания  АВС, умноженному на апофему SR,

Периметр основания равен 3, апофема 2.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 1,5 ·2 = 3.

 

Ответ: 3.

 

 

Задача 10.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M.

Площадь треугольника  ABC равна 3, MS = 1.

Найдите объем пирамиды.

 

 

 

 

 

Решение

Объем пирамиды вычисляется по формуле: .

 

Подставляем данные (площадь основания  и длину  высоты пирамиды), получаем в ответе 1.

Ответ: 1.

________________________________________________________________

 

4. Цилиндр

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрите таблицы.

Выясните по рисункам:

  • что такое цилиндр?
  • как вычислить площадь его  боковой и полной поверхности?

 

 

  • что представляют собой основания, боковая поверхность?
  • ось цилиндра?
  • радиус, образующая, центры оснований?

 

 

 

 

 

 

  • что получается в сечении цилиндра плоскостью?
  • как найти расстояние от центра до секущей плоскости, параллельной оси цилиндра?
  • как найти расстояние между точками оснований цилиндра?

 

 

 

 

 

 

 

 

  •  как найти объем цилиндра?

 

  •  площадь боковой и полной поверхности?

 

 

 

Задача 11.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле S=2πrh

Подставляем данные  S = 2π  и диаметр 2r = 1 в эту формулу, находим h = 2

Ответ: 2.

 

___________________________________________________________

 

5. Конус

 

Рассмотрите таблицы.

Выясните по рисункам:

  • что такое конус?

 

  • что представляют собой основания, боковая поверхность?
  • ось конуса?
  • радиус, образующая, центры оснований?

  • как найти объем конуса?
  • площадь боковой и полной поверхности?

 

Задача 12.

Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса

 

 

Диаметр основания конуса равен двум радиусам.

Найдем радиус основания по теореме Пифагора:

 

Ответ: 6.

___________________________________________________________________

 

Видеорешение

 

________________________________________________________________________________

Самостоятельная работа

Приступайте к самостоятельной работе по книге

Откройте книгу на странице 465.

Ответы найдете на страницах 540-542.

К Прототипам В9

Удачи!

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

 

______________________________________________________________________________

Проверьте, как усвоена тема.

 test

 

 

Справились? Отлично!

Не удалось?

Проверьте, с какими задачами не справились, еще раз разберите решение, порешайте примеры из книги, сверяя ответ.

 

Если есть проблемы, и вам нужна помощь, — обращайтесь к учителю.

 

Связаться со мной

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания.

Также на эту тему вы можете почитать:

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.