ЕГЭ. Задание В9. Преобразование выражений

log

Проверяемые требования (умения):

Уметь выполнять вычисления и преобразования

 

 

Преобразование выражений - одно из важных действий в алгебре.  Без него часто не решишь уравнение, систему  или неравенство.

 

В открытом банке заданий представлены задания на преобразование выражений различных видов.

 

 

 


Объяснительный текст

План изучения темы

  1. Числовые выражения
  2. Многочлены
  3. Алгебраические дроби
  4. Степень с целым и дробным показателями
  5. Функциональные выражения
  6. Иррациональные выражения
  7. Логарифмические выражения
  8. Тригонометрические выражения

Разбор примеров задания

1. Числовые выражения

 

В открытой базе есть задания по программе 6 класса!

Это задания на действия с обыкновенными дробями.

Надеюсь, вы помните, как вычислять?

Ну а если волею случая подзабыли (мало ли что бывает?), то вам в помощь эта таблица. Рассмотрите ее внимательно.

 

 

Рассмотрим примеры  задания

 

Задача 1.

Найдите значение выражения:

Решение


Первое, что надо сделать с любым выражением, которое следует преобразовать - это свести все дроби к одинаковому виду.В данном случае - к виду обыкновенной дроби.Далее дроби в скобках для выполнения вычитания приводим к общему знаменателю 35, выполняем вычитание.Для умножения приводим смешанные дроби к неправильным дробям:
Ответ: 8.

2. Многочлены

 

Задание на действия с многочленами предполагает знание формул сокращенного умножения, разложения на множители, приведение подобных членов.

 

 

 

 

Используя таблицу, вспомните необходимые формулы.

 

Задача 2.

Найдите значение выражения

.

Решение:

Кстати, здесь 6xy надо заключить в скобки (не верное условие), а то порядок действий меняется и в ответе не получается число).

9x²+12xy+4y² -9x²-4y²):(6xy) = (12xy):(6xy) = 2

Ответ: 2.

 


Задача 3.

Найдите значение выражения
(-16a^{6}b^{3}):(4a^{6}b^{6})
 при b=2 .

Решение

 

 

При b = 2 (подставляем вместо "b" число 2), получаем значение выражения -0,5.

Ответ: -0,5.

 


3. Алгебраические дроби

 

Рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями.

Сокращение дробей - это деление числителя и знаменателя одновременно на одно и то же число, отличное от 0.

 

Задача 4.

Найдите значение выражения

 

 

Решение

Сокращать можно только множители. И ни в коем случае - отдельные слагаемые.

Раскладываем на множители числитель и знаменатель дроби

 

 

и делим каждый из них на общий множитель 11а - 1.

Ответ: 11.

 


Задача 5.

Найдите значение выражения

 

Решение

Числитель разложим на множители по формуле разности квадратов и сократим дробь на 3х+2:

 

 

Ответ: -2.

 

Сложение и вычитание алгебраических дробей

 

Дроби с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) просто: выполняют действие только с числителем, оставляя прежним знаменатель.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему знаменателю. Вспомните, как это делается, рассмотрев таблицу.

 

 

Умножение и деление алгебраических дробей

Правило умножения дробей простое: умножаем

числители и знаменатели между собой. Но все же будет разумней сначала упростить произведение, сократив множители.

При делении в делителе сначала меняем числитель и знаменатель между собой (берем обратное число).

 

 

Задание 6

Найдите значение выражения

 

 

Решение

Первый множитель разложим на множители по формуле разности квадратов. В разности каждую дробь приведем к общему знаменателю и выполним вычитание. Затем сократим полученную дробь.

 

 

Ответ: 6.

 


4. Степень с рациональным показателем

Повторите понятие степени с отрицательным показателем, с дробным показателем. В этом вам помогут таблицы.

Свойства степеней с любыми рациональными показателем общие.

Складывать и вычитать разные степени нельзя.

Чтобы умножить (разделить), надо основание оставить прежним, а показатели сложить (вычесть).

Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить прежним, а показатели умножить.

Чтобы возвести в степень произведение (частное или дробь), надо возвести в эту степень каждый множитель (делимое и делитель или числитель и знаменатель).

 

 

Задача 7.

Найдите значение выражения 

.

Решение

Задача 8.

Найдите значение выражения

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 


 

5. Функциональные выражения

 

Задача 9.

Найдите 

  

 , если  

Решение
Заменяем в выражении p(b) переменную b на  1/b, находим p(1/b).

 

Замечаем, что это выражение совпадает с p(b). Поэтому

Ответ : 1.

 

Задача 10.

 

Найдите

, если

  .

 

Решение

Освобождаемся от дроби в уравнении, умножая обе части уравнения на ее знаменатель, получаем:

 

 

Переносим слагаемые

 

 

Добавляем 10 к каждой части равенства, чтобы справа получить нужное по условию выражение:

 

Ответ: 10.

 


 

5. Иррациональные выражения

Повторите понятие корня n - ой степени и его свойства.


Задача 11.

Найдите значение выражения

 

Решение

 

Получаем

 Ответ: 33.

 

 

Задача 12.

Найдите значение выражения

 

 

 

Решение

Применим свойство корня:

Ответ: 2.

Задача 13.

Найдите значение выражения

 

 

Решение

Если возвести в квадрат числитель по формуле сокращенного умножения, то получим то же самое, что и в знаменателе, умноженное на 2:

 

 

 

Ответ: 2.

 

 

Задача 14.

Найдите значение выражения

 

 

Выделим полный квадрат подкоренного выражения:

 

 

Обратите внимание на модульные скобки!

Учитывая условие, замечаем, что x-2<0, поэтому модуль раскрывается с противоположным знаком и после упрощения получаем 2.

Ответ: 2.

 

Задача 15.

Найдите значение выражения 
\frac{\sqrt[9]{\sqrt{m}}}{\sqrt{\sqrt[9]{m}}}

 

 

Решение

Сложное выражение легко упрощается.

Используем свойства корней, стремимся убрать лишние корни:

 

 

Ответ 1.

 

 

Задача 16.

Найдите значение выражения  

     при x=3.

 

 

Решение

Иррациональные выражения подобного типа упрощаются по тем же правилам, что и рациональные с учетом свойств корня.

Дроби приводим к общему знаменателю и выполняем действие.

 

 

 

При х=3 получаем значение выражения 26.

Ответ: 26.

 


6. Логарифмические выражения

 

Прежде чем приступить к разбору заданий, рассмотрите таблицы.

необходимо вспомнить:

  • определение логарифма
  • основные свойства логарифма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 17.

Найдите значение выражения:

 

Решение

Здесь просто надо вычислить каждый логарифм. Он легко находится по определению.

Получаем 4·2 = 8.

Ответ: 8.

 

Задача 18.

Найдите значение выражения

Решение

Приведем к виду основного тождества и воспользуемся свойством степени:

 

Ответ: 25.

 

 

Задача 19.

Найдите значение выражения 

 

Решение

Применяем свойство разности логарифмов:

Ответ: -1.

 

Задача 20.

Найдите значение выражения 

 

 

Решение

Это выражение можно представить в виде одного логарифма по формуле перехода к логарифму с другим основанием:

 

 

Ответ: 2.

 

 

Задача 21.

Найдите значение выражения

 

Решение

Умножать логарифмы нельзя, но можно попытаться найти нечто общее в числах 9 и 3, 25 и 5. Избавиться от 25 и 9.

И воспользоваться формулой перехода к логарифму с другим основанием:

 

 

 

 

 

Ответ: 4.

 

Задача 22.

Найдите значение выражения

 

 

Снова поможет  одно их свойств логарифмов:

 

 

Ответ: 6.

 

 

Задача 23. 

Найдите значение выражения

 

Решение
Так и в этом примере часто приходится представлять числа выражения в виде логарифмов, чтобы применить их свойства для упрощения выражений:

 

 

 

 

Ответ: 1.

 


 

7. Тригонометрические выражения

Для успешного преобразования тригонометрического выражения, необходимо помнить формулы.

Их много, но при внимательном их изучении не трудно заметить общие закономерности и правила для запоминания.

И, конечно, если выполнить много упражнений такого типа, то формулы запомнятся сами собой.

А если понимать, как они выводятся одна за другой, то проблем на экзамене вообще быть не должно, ведь в любой момент вы это сможете сделать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приступим к разбору заданий.

 

Задача 24.

Найдите значение выражения
\frac{12sin11^{\circ}sin11^{\circ}}{sin22^{\circ}}

Решение

Если вы знаете формулы, то заметите в числителе правую часть формулы синуса двойного угла.

 

 

Можно было, наоборот, в знаменателе разложить на множители знаменатель по формуле двойного угла.

Ответ: 6.

 

 

Задача 25.

Найдите значение выражения

 

 

Решение

В  отличие от предыдущего задания здесь выражение в числителе раскладываем по формуле косинуса двойного угла.

 

 

 

Ответ: -24.

 

 

Задача 26.

Найдите значение выражения

 

 

 

Уменьшим аргумент в числителе по свойству периодичности синуса:

 

 

 

 

Ответ: 14.

 

 

Задача 27.

Найдите значение выражения

 

 

Решение

Заметим, что сумма чисел 29 и 61 равна 90.

Поэтому можем воспользоваться формулой приведения

 

 

Есть таблица этих формул.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Но запомнить ее трудновато. Лучше запомнить мнемоническое правило "лошадиной головы".

Задача 28.

Найдите значение выражения

 

 

 

 

Решение

Воспользуемся свойствами функций: их периодичностью, чтобы уменьшить аргумент и нечетностью синуса, чтобы аргумент был положительным:

 

 

 

 

 

Теперь применим формулы приведения и вычислим:

 

 

 

Ответ: -16

 

 

Задача 29.

Найдите  tg α, если  

 

Решение

Воспользуемся формулой, из которой выразим тангенс, причем берем его со знаком "-", т.к. тангенс в 4 четверти отрицателен.

 

Ответ: -3.

 

 

Задача 30.

Найдите

 

если tgα = -2,5.

Решение

Методы решения задач приобретаются в процессе опыта работы над ними. Одним их них мы сейчас воспользуемся.

Разделим числитель и знаменатель дроби на tgα:

 

 

 

Ответ: 5.

 


Видеорешение Задания В7

 


 

Закрепление (самостоятельная работа) по задачнику

 

Откройте страницу 212.

Ответы на странице 527-530.

 

К Прототипам В7

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

 


Тестирование

test

 

 

 


Связаться со мной

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

 

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях. Они не будут оставлены без моего внимания.

Также на эту тему вы можете почитать:

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

3 коммент. к “ЕГЭ. Задание В9. Преобразование выражений”

  1. ирина:

    задание 3) отсутствует))

  2. ирина:

    задача 23, откуда 6?


Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.