ЕГЭ. Задание В8. Часть 2. Стереометрия

Проверяемые требования: Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

 

В задании В11 вы снова сталкиваетесь с задачей из курса стереометрии.

Честно говоря, не могу точно сказать, легкая это будет задача для вас или трудная, т.к. в открытом банке заданий они настолько разные, что трудно понять, какого они типа.

Скорее всего - какого угодно.

Даже практически невозможно перечислить четко типы задач (придется перечислять почти весь курс стереометрии выпускного класса).

 



___________________________________________________________________________

Можно лишь сказать, что эта задача может оказаться легкой, а может трудной. Как повезет. Но если вы прорешаете все типы, которые я вам предлагаю, вы будете иметь представление о задании В11.

Вам в помощь все прототипы задач разбиты на страницы:

  1. Площадь поверхности или объем многогранника
  2. Площадь поверхности или объем фигуры вращения
  3. Комбинация многогранника и цилиндра
  4. Комбинация многогранника и конуса
  5. Комбинация многогранника и сферы
  6. Комбинация фигур вращения
  7. Объем части фигуры
  8. Изменение объема или площади поверхности

__________________________________________________________________

 Объяснительный текст

1. Площадь поверхности и объем многогранника

 

Задача 1.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

 

Решение

Площадь поверхности многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3 и 5 (по рисунку) ,без площади двух равных квадратов со стороной 1.

S = 3·3 + 3·5 + 5·3 - 2 = 37

Ответ: 37.

 

Задача 2.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

 

Решение

Площадь основания равна половине произведения катетов, т.е. 24.

Тогда объем V = S·h = 24·5 = 120

 

 

 

 

Ответ: 120.

 

 

Задача 3.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна √3.

 

 

Решение

Площадь правильного треугольника, лежащего в основании, вычисляется по формуле

 

Тогда объем

 

Ответ: 0,25.

 

 

Задача 4.

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60º. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60º и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.

 

Решение

Объем параллелепипеда  V = Sh = Sl sinα = S ·2·sin 60° = S ·√3.

Площадь ромба с углом 60 равна двум площадям правильного треугольника со стороной 1 и равна √3/2.

Тогда объем V = 1,5.

Ответ: 1,5.

 

 

 

 

Задача 5.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

 

Решение

Правильный шестиугольник легко разделить на 6 правильных треугольников, проведя радиусы из центра к вершинам шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника равна шести площадям правильного треугольника со стороной 2.

Вычисляем, получаем 6√3.

Объем

 

 

Ответ: 12.

 

_________________________________________________________________

 

2. Площадь поверхности и объем фигур вращения

 

Задача 6.

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

 

Решение

Радиус большого круга равен радиусу шара.

Площадь большого круга вычисляется по формуле S = πr², а площадь поверхности шара - S =4 πr².

Значит, площадь поверхности шара в 4 раза больше площади большого круга.

4·3 = 12.

Ответ: 12.

 

Задача 7.

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение

Площадь боковой поверхности конуса S = πrl.

Площадь основания равна πг².

Тогда      πrl = 2πг²        2r = l.

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен углу между  образующей конуса и радиусом основания, проведенному из основания образующей.

Его косинус равен r/l = 0,5.

Значит, угол равен 30°.

Ответ: 30.

 

___________________________________________________________________

 

 3. Комбинация многогранника и цилиндра

 

Задача 8.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

 

Решение

Если радиус основания цилиндра равен 1, то сторона основания параллелепипеда - сторона квадрата - равна 2.

V = 2²·1 = 4

Ответ: 4.

 

Задача 9.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

 

 

Решение

Радиус окружности основания цилиндра  равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Гипотенузу треугольника находим по теореме Пифагора. Она будет равна 10.

Тогда радиус равен 5.

Объем цилиндра V = π·5² ·5/π = 125π

Ответ: 125.

 

Задача 10.

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.

 

Решение

Радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в треугольник.

Тогда сторона вписанного треугольника, выражаемая через радиус окружности по формуле а = 2√3 r = 6

Площадь правильного треугольника S = a²√3/2 =18√3.

Объем призмы V = S·h = 54

Ответ: 54.

 

_______________________________________________________________

 

4. Комбинация многогранника и конуса

 

Задача 11. 

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.

 

Решение

Объем конуса равен V = 1/3 ·πr²h

Радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD.

Диагональ квадрата равна 4√2, ее половина - 2√2.

Подставляем в формулу, вычисляем объем.

Ответ: 16.

 

_______________________________________________________________

 

5. Комбинация многогранника и сферы

 

Задача 12.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его объем.

 

Решение

Диаметр шара равен стороне основания прямоугольного параллелепипеда.

Такой  прямоугольный параллелепипед может быть только кубом.

V = 2³ = 8.

Ответ: 8.

 

Задача 13.

Около куба с ребром   √3 описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π .

Решение

Радиус описанного шара равен половине диагонали куба (АО).

Диагональ куба равна 3.

Объем шара

 

Ответ: 4,5.

 

______________________________________________________________

 

 6. Комбинация фигур вращения

 

Задача 14.

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

 

Решение

Площадь поверхности цилиндра состоит из площади двух кругов и боковой поверхности:

 

Площадь поверхности шара равна 2πr², т.е. в 3 раза меньше площади цилиндра.

18:3 = 6

Ответ: 6.

Задача 15.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

 

Решение

Объем цилиндра вычисляется по формуле: πr²h, а конуса

 

Радиусы оснований и высоты у этих фигур совпадают.

Значит, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса.

150:3 = 50.

Ответ: 50.

Задача 16.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

 

 

 

 

Решение

Если радиус основания конуса равен радиусу шара, то такого расположения конуса относительно шара, какое вы видите на рисунках, быть не может, т.к. в этих случаях получается, что гипотенуза равна катету.

Поэтому радиусы основания конуса должен являться радиусом шара, как на последнем рисунке.

Для конуса V = 1/3 πr²h = 6

h=r

V = 1/3 πr³ = 6

πr³  = 18

Для шара V = 4/3 πr³  = 4/3·18 = 24

Ответ: 24.

 

__________________________________________________________________

 

7. Объем части фигуры

 

Задача 17.

В цилиндрический сосуд налили 200 м³ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³ .

 

 

Решение

Объем детали равен объему вытесненной жидкости.

 

 

Ответ: 1500

 

Задача 18.

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

 

Решение

Отсеченная пирамида имеет площадь основания, в 4 раза меньшую, чем исходная пирамида.

По той причине, что у нее сторона (MN) и высота, проведенная к этой стороне, в 2 раза меньше каждая.

Высота же самой пирамиды остается неизменной.

Т.о.  объем отсеченной треугольной пирамиды меньше объема исходной пирамиды в 4 раза.

12:4 = 3.

Ответ: 3.

 

Задача 19.

Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите  .

Основанием этой части цилиндра является круговой сектор с центральным углом, равным

360° - 60° = 300°.

Площадь сектора составляет 5/6 всего круга.

Значит объем фигуры тоже составляет  5/6 объема всего цилиндра.

Найдем объем всего цилиндра (используя данные рисунка), а затем его  5/6 часть:

V = πr²h = π·15²·5 =1125π

5/6 ·1125π = 937,5π

Ответ: 937,5

___________________________________________________________________

 

8. Изменение объема

 

Если в фигуре изменяется какая-либо величина, то изменяется ее объем. Во сколько раз - это подскажет формула объема этой фигуры.

Задача 20.

Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

Объем цилиндра прямо пропорционален высоте и квадрату радиуса основания, а значит изменяется с изменением высоты во столько же раз, во сколько раз изменяется высота, т.е. в 3 раза. С изменением же  радиуса в 2 раза объем цилиндра изменяется в 4 раза.

Значит, объем цилиндра в итоге увеличится в 3 раза и уменьшится в 4 раза.

12·3:2 = 9

ответ: 9.

 

Задача 21.

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

 

Решение

Площадь поверхности куба S = 6a².

Увеличим ребро на 1: S = 6(a+1)².

найдем разность:  6(a+1)² - 6a² = 6a² + 12а + 6 - 6a² = 12а + 6 =54

а = 4

Ответ: 4.

 

 

Задача 22.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

 

Решение

Площадь поверхности шара               S = 4πr².

Как видим из формулы, она пропорциональна квадрату радиуса шара.

Значит при увеличении радиуса в 2 раза площадь поверхности увеличивается в 4 раза.

Ответ6 4.

 

Задача 23.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

 

Решение

V = 1/3Sh.

Если все его ребра увеличить в два раза, то площадь основания увеличится в 4 раза, а высота пирамиды в 2 раза.

В итоге объем правильного тетраэдра увеличится в 8 раз.

 

Ответ: 8.

_____________________________________________________________________

 

Видеорешение

 

 

_______________________________________________________________________

Закрепление (самостоятельная работа)

по книге.

Откройте ее на странице 478.

Ответы найдете на страницах 541-542.

 

К Прототипам задания  В11

 

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

_______________________________________________________________

Тестирование

test

 

 

Если вам трудно освоить самостоятельно и вам требуется помощник-репетитор, то обращайтесь, и я постараюсь вам помочь.

________________________________________________________________

 

Если все же трудности не ушли, обращайтесь к учителю.

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания.

Комментарии 2

  • не получается решить задачу.радиус основания цилиндра равен 3 см,а высота 8 см.Найти нужно полную поверхность правильной треугольной призмы,вписанной в цилиндр

    • Задача простая.
      Чтобы найти полную поверхность призмы, надо сложить площади двух оснований и боковую поверхность.
      В основании правильный треугольник. Найдем его сторону через радиус описанной окружности: а = r корней из 3.
      Тогда площадь вычисляем по формуле площади правильно треугольника: r квадрат корень из 3, деленное на 4.
      Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания, т.е. 3а, умноженного на высоту призмы 8.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.