ЕГЭ. Задание В7. Применение производной

proizv

 

Проверяемые требования (умения):  уметь выполнять действия с функциями  

Задания В8 требует хорошего понимания понятия производной, ее геометрического и физического смысла, умения применять понятие производной для исследования функции.

Они в большинстве своем не требуют письменных выкладок, решаются практически устно.




В открытом банке заданий задачи этого типа можно разделить на такие, как:

  1. Касательная и производная
  2. Знак производной
  3. Экстремумы
  4. Монотонность функции
  5. Найти производную по графику касательной функции
  6. Задания с параметрами
  7. Физический смысл производной

 


 

Объяснительный текст

 

1. Касательная и производная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная - не что иное, как скорость изменения функции.

На графике скорость изменения функции показывает касательная, проведенная к графику функции в точке касания.

Точнее ее угол наклона к положительному направлению оси х. Чем этот угол больше, тем скорость изменения функции больше. На первом рисунке функция растет медленнее в точке с абсциссой 3, чем функция на втором рисунке. Это хорошо показывают углы наклона касательных, проведенных к графикам этих функций в точке 3. В первом случае угол более острый, т.е. меньший, чем на втором.

Более точно  производная равна угловому коэффициенту касательной или тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси х.

Рассмотрите таблицу

 

Разберем основные прототипы этого задания.

Задача 1.

Прямая  y=7x - 5  параллельна касательной к графику функции y=x²+6x-8.

Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент.

Найдем производную функции и приравняем ее к угловому коэффициенту касательной:

Эта точка не является общей для графика функции и прямой, значит прямая y=7x - 5 не совпадает с касательной, а только параллельна ей.

Ответ: 0.5.

 

Задача 2.

Прямая  y=-4x-11 является касательной к графику функции 

 .

Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Найдем производную функции и приравняем ее к угловому коэффициенту

 

 

 

 

 

 

Но это еще не все, ведь найденные очки могли оказаться точками, в которых касательная параллельна данной прямой, а не совпадает с ней. Точка касания должна принадлежать как графику функции, так и самой прямой.

Общей точкой является (проверяется подстановкой) только х = -1.

Ответ: -1.

 

Задача 3.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-5;5) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y=6 или совпадает с ней.

MA.E10.B8.102_dop/innerimg0.jpg

Решение

Прямая y=6 параллельна оси Ох.

График данной функции имеет горизонтальную касательную в 4-х точках:

Ответ: 4

Задача 4. 
На рисунке изображен график функции y = f(x) и отмечены точки -2, -1, 1 и 2. В какой из них производная больше? В ответе укажите эту точку.

2013-12-12_120501

 

 

 

 

 

Решение.
Значение производной тем больше, чем больше скорость изменения функции. В данной задаче в точках -1 и 1 функция убывает (производная отрицательна), в точке 2 производная равна 0 (точка экстремума), и только в точке -2 она положительна, т.е самая наибольшая в данных точках.
Ответ: -2.

 

 

 

 

 

 

2. Знак производной

 

 

Рассмотрите таблицу.

Какая связь между поведением (монотонностью) функции и знаком ее производной?

Производная положительна на промежутках, на которых функция возрастает и отрицательна на промежутках, на которых функция убывает.

Для возрастающей функции производная всегда положительна (график производной выше оси х)

Для убывающей функции производная всегда отрицательна (график производной ниже оси х).

 

 

 

 

Рассмотрите график  функции.

 

Что можно сказать о производной функции в указанных точках и на промежутках, закрашенных синим и красным цветом?

Ответы найдете в таблице.

 

 

 

 

Задача 5.

На рисунке изображен график функцииy=f(x), определенной на интервале (-6;8).

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

в8-13

 

Решение

Надо искать промежутки, на которых касательная расположена под острым углом к положительному направлению оси х, или промежутки, на которых функция возрастает.

Это промежутки (-3;0) и (4,5;7).

Считаем количество целых чисел этих промежутков.

Ответ: 4.

 


3. Экстремумы

В таблице вы видите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

Если вам дан график производной, то искать критические точки и точки эктремума надо на оси х.

А дальше все зависит от того, как график пересекает ось.

Если, при движении слева направо (от меньшего числа к большему на оси х) график функции меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума (наоборот - максимума).

 

 

 

 

 

Например:

 

Задача 6.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-2;12).

Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

в8-14

 

Решение

Точки экстремума 1, 2, 4, 7, 9, 11. Их сумма равна 34.

Если бы это был график производной, то точками экстремума бы были -1 и 5.

Ответ: 34.

 

 

Задача 7.

На рисунке изображен график  производной функции f(x), определенной на интервале (-8;3).

В какой точке отрезка [-3;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

b8-15

Решение

Функция приримает наибольшее значение в критической точке -3.

До -3 функция возрастает, после -3 убывает.

Ответ: -3.

 

 

 

 

Задача 8.

На рисунке изображен график  производной функции  f(x), определенной на интервале (-2;12).

Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2;10].

в8-14

Решение

Точки максимумасамой функции ищем на оси х.

Точек пересечения с осью х всего 3.

Только две из них являются точками максимума, т.к. только в них график пересекает ось , переходя из положительной полуплоскости в отрицательную.

Ответ: 2.


 

4. Найти производную

 

Когда дан график касательной, то найти производную функции означает найти угловой коэффициент этой касательной, т.е. тангенс угла ее наклона или отношение приращения функции к приращению аргумента на удобном участке.

 

 

На первом рисунке угловой коэффициент положителен, равен отношению ВС к АС, т.е. 1.

 

 

 

 

 

 

 

На втором рисунке угловой коэффициент отрицателен и равен по модулю отношению ВС к АС, т.е. 3 к 12, значит равен -0,25.

 

 

 

Задача 9.

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

 

Решение

Четко определены две точки с абсциссами -2 и 1 и ординатами соответственно -4 и 2.

Если идти от точки -2 до точки 1 вдоль оси х, пройдем расстояние, равное 3.

При этом ордината точки изменилась на 6.

6:3 = 2.

Ответ: 2.

 

Задача 10.

На рисунке изображены график функции y=f(x)  и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции  f(x) в точке x0.

 

Решение

Задача решается так же, как и предыдущая.

Только обратите внимание на то, что угловой коэффициент касательной, а значит и производная должны быть отрицательны.

Берем точки (-5;-3) и (-2;-9).

х меняется на 3, y на -6.

-6:3 = -2.

Ответ: -2.

 

Задача 11.

На рисунке изображен график функции y=f(x) . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке x0=8.

protob8-23

Решение

Касательная не проведена, но обозначена точками. (0;0) и (8;10).

10:8 = 1,25

Ответ: 1,25.

 


 

 5. С параметрами

 

Задача 12.

Прямая y=3x+1  является касательной к графику функции ax²+2x+3.  Найдите a.

Решение

Здесь а является параметром, т.е. на самом деле задано семейство функций одного вида. В этом семействе надо найти только одну, удовлетворяющую условию задачи.

 

Прямая является касательной к графику функции, если выполняются 2 условия:

1. Производная функции равна угловому коэффициенту касательной. Но при этом данная прямая и касательная могут оказаться параллельными. Поэтому необходимо второе условие

2. Прямая и график функции пересекаются в предполагаемой точке касания.

 

Найдем производную функции y= ах² +2x+3 и приравняем ее к угловому коэффициенту прямой:

2ах + 2 = 3;  2ах = 1.

Согласно второму условию 3х+1 = ах² +2x+3.

Получили систему двух уравнений с двумя переменными.

Решая ее, получим а = 0,125 и х = 4.

Ответ: 0,125.

 


 

6. Физический смысл производной

В физическом смысле производная - это скорость изменения любого процесса.

Ускорение - производная скорости.

Задача 13.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t²-48t+17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c.

Решение

В задаче надо найти производную функции в точке 9.

Производная 12t - 48. Ее значение в точке 9 равно 60.

Ответ: 60.

 

Задача 14.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t²-13t+23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение

Найдем производную функции и приравняем ее к 3.

2t - 13 = 3

t = 8.

Ответ: 8.

 


 

Видео-решения Задания В8

 


 

Закрепление(самостоятельная работа) с задачником

 

Откройте задачник на странице 254.

Ответы найдете на страницах 531-533.

 

К Прототипам В8

 

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

 


Тестирование

test

 

 


Связаться со мной

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях. Они не будут оставлены без моего внимания.

 

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

4 коммент. к “ЕГЭ. Задание В7. Применение производной”

  1. ирина:

    задача 7, а где рисунок?

  2. Артем:

    Почему в первой задаче ответ 7?


Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.