ЕГЭ. Задание В8. Простейшие фигуры на плоскости

Проверяемые требования (умения):

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

 

 

В банке заданий В6 собраны достаточно не сложные планиметрические задачи.

Не сложные при условии знания школьной геометрии на уровне 7-8 классов.

 




Объяснительный текст

 

1. Прямоугольный треугольник

 

Рассмотрите таблицу.
Вспомните необходимый теоретический материал.
Элементы прямоугольного треугольника (гипотенуза и катеты, углы и их свойства).
Чему равна сумма острых его углов?
Обратите внимание на свойство медианы прямоугольного треугольника.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы и равна радиусу описанной окружности треугольника.
Какая связь между гипотенузой и катетом, лежащим против угла в 30º?

Задача 1

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
Гипотенуза имеет длину 5  клеток.
Половина гипотенузы равна 2,5.
Ответ: 2,5.

Для решения задач могут понадобиться:

 

  • теорема Пифагора
  • определение синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.
  • таблица значений тригонометрических функций (надеюсь, ее теперь вспомните в любой момент)

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение

Катеты треугольника 3 и 4 длины клетки.

Применяем теорему Пифагора

Ответ: 5.

 

 

 

 

 

 

Задача 3

В треугольнике ABC угол C равен 90^circ, синус внешнего угла при вершине A равен 0,5, AB = 8. Найдите BC.

Решение

Если синус внешнего угла равен 0,5, то сам угол 30°, его синус тоже 0,5.

Это не случайно : синусы смежных углов равны по формуле приведения.

ВС - противолежащий катет.

Чтобы его найти, надо гипотенузу АВ умножить на синус угла А.

Получим 4.

Можно использовать утверждение о том, что катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Ответ: 4.


2. Углы многоугольника

 

Повторите:

Чему равна сумма углов треугольника? четырехугольника?

Какая связь между внешним углом треугольника и внутренними углами?

Ответить на вопросы помогут таблицы.

 

 

 

 

 

 

Задача 4

Найдите тупой угол параллелограмма, если его острый угол равен 60^circ Ответ дайте в градусах.

Решение

 

Сумма тупого и острого углов параллелограмма 180 °. Поэтому тупой угол равен 180° - 60° = 120°

 

 

 

Ответ: 120.

 

Задача 5

В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 138^circ. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение

Т.к. треугольник равнобедренный, то углы А и С равны и их сумма равна внешнему углу при вершине В.

Поэтому каждый угол равен 69°

 

 

Ответ: 69.

 


3. Равнобедренный и равносторонний треугольники

 

 

Рассмотрите таблицу.

Вспомните определение, свойства и признаки равнобедренного и равностороннего треугольников.

 

 

 

 

 

 

 

 Задача 6

В треугольнике ABC AC = BCAD  — высота, угол BAD равен 24^circ. Найдите угол C.

Ответ дайте в градусах.

Решение

Из треугольника ABD находим угол В = 90° - 2°4 = 66°

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому угол А = 66°.

Тогда угол при вершине С = 180° - 2· 66° = 48°

 

 

Ответ: 48

 


 

4. Вписанная и описанная окружность

Повторите понятие и свойства вписанной и описанной окружности около треугольника.

Что является центром такой окружности? Радиусом?

Каково положение центра для равнобедренного, равностороннего треугольников?Где находится центры описанной и вписанной окружностей  для остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольника?

Где на чертеже можно увидеть радиусы?

Что можно сказать об отрезках касательных, проведенных из одной точки вне окружности?

 На все эти вопросы ищите ответ в таблицах.

Задача 7

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 3 и 4.

Решение

Диаметр окружности равен диагонали прямоугольника.

Диагональ считаем по теореме Пифагора.

Она равна 5.

Тогда радиус в 2 раза меньше.

Ответ: 2,5

 

 

 

Задача 8

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение

 
Правильный 6-угольник всегда можно разделить на 6 правильных треугольников, проведя отрезки от центра к вершинам.
Тогда становится понятным, что радиус окружности равен стороне 6- угольника.

 

 Ответ: 6
Задача 9
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет frac{1}{5} окружности. Ответ дайте в градусах.
Решение
frac{1}{5} окружности составляет дугу 360°/5 = 72°.
Вписанный угол равен половине этой дуги, т.е. 36°
Ответ: 36

Задача 10

Точки ABC, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Градусные меры дуг равны х, 3х и 5х.
Их сумма составляет 360°.
х + 3х + 5х = 360
х = 40
Большая дуга 5х = 200, ей соответствует угол 100
Ответ: 100

 

 

 

 

Задача 11

Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

 Решение видно из построения:

Ответ: 8.

 

 

 

 

Задача 12

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен frac{sqrt{3}}{6}. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей в правильный треугольник:
Вычисляем а из второй формулы.
Ответ: 1.

 

5. Параллелограмм и его виды

 

Повторите определение, свойства и признаки параллелограмма и его видов (ромба, прямоугольника, квадрата). Вам помогут таблицы.

 

Ответьте на вопросы:
Что называется параллелограммом? ромбом? прямоугольником? квадратом?
Перечислите, какими свойствами сторон, углов, диагоналей обладают эти фигуры. Какие свойства у них общие? Что отличает их друг от друга?
Как убедиться, что данная фигура является параллелограммом (ромбом, прямоугольником, квадратом). Перечислите как можно больше признаков каждой фигуры.

Задача 13

Найдите диагональ AC параллелограмма ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение
Можно достроить параллелограмм до прямоугольника:
Далее воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения АС как гипотенузы треугольника с катетами 3 и 4.
Ответ: 5


 

6. Трапеция

Рассмотрите таблицу.

 

Вспомните определение и свойства трапеции, ее видов (равнобедренной, прямоугольной), понятие высоты, диагоналей, средней линии.

Какими свойствами обладают углы между диагональю и основаниями? Углы, прилежащие к одной боковой стороне?

Чему равна средняя линия трапеции?

Отметьте, какими особыми свойствами обладает равнобедренная трапеция? А если у нее еще и диагонали перпендикулярны?

В чем особенности прямоугольной трапеции?

 

 

 

 

Задача 13

Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение

Пусть боковая сторона равна х.

Тогда средняя линия тоже равна х.

Следовательно сумма оснований равна 2х.,

а периметр 2х + х + х = 4х = 80 х = 20

Ответ: 20.

Задача 14

Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 9, один из углов равен 45^circ. Найдите высоту трапеции.

Решение

 
Проведем две высоты равнобедренной трапеции из ее вершин.
Основания этих высот разобьют трапецию на 3 отрезка длиной 3, 9 и 3.
Т.к. острый угол равен 45°, то образованные 2 равных прямоугольных треугольника будут еще и равнобедренными.
Их катеты будут равны каждый по 3.
Ответ: 3.

Посмотрите пример решения одной задачи типа В6.
 

Видеорешение

(будет добавлено)

 


Закрепление (самостоятельная работа)

 Порешайте задачи из пособия:
Откройте страницу .
Ответы на задачи В6 ищите в конце книги.
 Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

Тестирование

 

test

Введите имя и электронный адрес. Это от спама и еще для того, чтобы мне пришел результат вашей работы.
Приготовьте бумагу (черновик) и ручку
Система проверит ваши ответы и покажет результат.
Желаю успехов!

 


 

Связаться со мной

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

 

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях. Они не будут оставлены без моего внимания.

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

2 коммент. к “ЕГЭ. Задание В8. Простейшие фигуры на плоскости”

  1. Damira:

    а откуда в 10 задаче 5х=200?)

    • Мы обозначили градусные меры дуг через х: х, 3х и 5х, т.к. они находятся в отношении 1:3:5 по условию.
      Большая дуга составляет 5х.
      И т.к мы нашли, что х = 40, подставляем это значение в выражение 5х, т.е. 5 умножаем на 40. Получаем 200.
      Поэтому пишем, что 5х = 200.


Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.