ЕГЭ. Задание В5. Простейшие уравнения

k4425424


Проверяемые требования (умения): 
уметь решать уравнения и неравенства.
Задание В5 -  первое задание, хотя и простое, - из программы по математике старших классов.

В открытом банке заданий представлены простейшие  уравнения различных видов:


 

1. Алгебраические целые уравнения

2. Дробно-рациональные

3. Иррациональные

4. Показательные

5. Логарифмические

6. Тригонометрические

Разберем поочередно все виды.


Объяснительный текст

1. Алгебраические целые уравнения

 

Такие уравнения изучались вами еще в 7-9 классах.

Помните, что решением должно быть одно целое число или конечная десятичная дробь.

Никаких округлений. Если так не получается, ищите ошибку в своем решении.

Рассмотрим примеры прототипов.

Задача 1. -\frac{2}{9}x=9

Найдите корень уравнения:
Решение:

Это линейное уравнение.

Стремимся к тому, чтобы в левой части остался только х и больше ничего.

Умножим обе части уравнения на -9 (не забываем поменять знаки)

Получим 2х = -81

Делим обе части уравнения на 2:

х = - 40,5

Ответ:  - 40,5

 

Задача 2.

Найдите корень уравнения: x² - 17x + 72 = 0.

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение:

Это полное квадратное уравнение.

Находим дискриминант D = 17² - 4·1·72 = 289 - 288 = 1

1>0? - значит уравнение имеет 2 корня, нам нужен меньший.

Можно сначала найти оба корня, затем выбрать из них меньший.

А можно, не тратя время, сразу найти именно его. Для этого в формуле корней берем знак "минус":

х = (17 - 1):2 = 8

Нужный корень можно найти устно и быстро, если вам знакома теорема Виета.

Ответ: 8

 

Задача 3.

Решите уравнение  (2x+7)² = (2x - 1)².

Решение

Это уравнение сводится к линейному, если раскрыть скобки.

4х² + 28х +49 = 4х²  - 4х + 1

28х +4х = 1- 49

32х = -48

х = -1,5

Ответ:  -1,5

 

Задача 4.

Решите уравнение    х² - 16 = 0.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Неполное квадратное уравнение.

х² = 16

Уравнение имеет 2 противоположных корня.

Выбираем меньший, т.е. отрицательный:

х = - 4

Ответ: -4.

 

Задача 5.

Найдите корень уравнения (x-1)³ = 8.

Решение

Не следует здесь возводить в куб двучлен.

Лучше извлекём  кубический корень из обеих частей уравнения.

Обратите внимание: мы имеем право это делать, т.к. корень нечетной степени (с квадратными корнями так не поступайте, потеряете решение).

х - 1 = 2

х = 3

ответ: 3.


 

2. Алгебраические дробно-рациональные уравнения

 

Дробь не имеет смысла, если ее знаменатель равен нулю.

При решении дробно-рациональных уравнений не забываем проверять на равенство нулю знаменателя.

Чтобы избавляться от дробей, надо умножать обе части уравнения на общий знаменатель.

 

Задача 6.

Найдите корень уравнения: x = \frac{6x-15}{x-2}

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение

Умножим обе части на х - 2.

(Заметим, можно умножать только на число, отличное от нуля. Поэтому может появиться посторонний корень х=2)

х(х - 2) = 6х - 15

Раскрываем скобки, приходим к квадратному уравнению

х² - 2х = 6х - 15

х² - 8х +15 = 0

Уравнение имеет 2 решения 3 и 5. Оба подходят. Это можно определить 2-мя способами:

  • подстановкой корней в уравнение
  • проверкой условия х отлично от 2, т.к. посторонний корень мог появиться только в результате умножения на х-2, который не должен обратиться в 0.

Итак, два корня подходят. Как быть?

Прочитаем еще раз вопрос (это всегда надо делать)

В ответе даем больший корень 5.

Ответ: 5.

 

Задача 7.

Решите уравнение  x = \frac{9}{x^{2}-16}.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

Умножим обе части уравнения на х² - 16, отличное от нуля.

9 = х² - 16

х² = 25

Больший корень 5.

Проверяем.

Ответ: 5.

 

Задача 8.

Решите уравнение   \frac{x+8}{5x+7}=\frac{x+8}{7x+5} .

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель (5х+7)(7х+5), отличный от нуля.

(х+8)(7х+5) = (х+8)(5х+7)

Далее, раскрыв скобки, перенеся слагаемые, получим квадратное уравнение и выберем больший корень, как сказано в условии задачи.

Но проще это уравнение решить по свойству дробей.

Две дроби с одинаковыми числителями могут быть равны, если

  • этот числитель равен нулю
  • знаменатели равны между собой
При этом ни один знаменатель не обращается в 0.
Тогда найти корни можно практически устно. Это -8 и 1.
Ответ: 1.

3. Иррациональные уравнения

 

К иррациональным уравнениям относятся уравнения, содержащие знак радикала.

Чтобы избавиться от знака корня, возводим обе части уравнения в степень корня (чаще в квадрат).

Но при этом проверяем, не получены ли посторонние корни, ведь возведение в квадрат обеих частей уравнения может привести к появлению посторонних корней.

 

Задача 9.

Найдите корень уравнения      \sqrt{115-2x}=3 .

Решение:

Возводим обе части уравнения в квадрат.

115 - 2х = 9

х = 53

Корень проверяем

Ответ: 53

 

Задача 10.

Найдите корень уравнения:  \sqrt{-72-17x}=x

Решение

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возводим обе части уравнения в квадрат.

- 72 - 17х = х²

Квадратное уравнение имеет корни- 8 и -9. Оба корня подходят.

Выбираем меньший.

Ответ6 -9.

 

 


4. Показательные уравнения

 


Это пример самого простого показательного уравнения.

 

При решении показательных уравнений следует помнить таблицу степеней для наиболее употребляемых чисел

2013-02-02_104927

2013-02-02_104825

Обычно приходится представлять числа в виде степеней с нужным основанием.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11.

Найдите корень уравнения   \left(\frac{1}{2} \right)^{6-2x} = 4.

Решение

Представим число 4 в виде степени с основанием ½.

4 = (½) в степени -2

Приравниваем показатели степеней 6 - 2х = -2

Ответ: 4

 

 

Задача 12.

Решите уравнение   2^{3+x}= 5^{3+x}\cdot 0,4.

Решение

Заметим, что 0,4 = 2/5

Разделим обе части уравнения на 2 и воспользуемся свойством степени при их умножении.

2 в степени 2+х равно 5 в cтепени 2 + х

Показатели степеней с разными основаниями равны, значит, показатели обязаны быть нулями

2+х = 0

х = -2

Ответ: -2.

 


5. Логарифмические уравнения

 

Если вы подзабыли, что такое логарифм, рассмотрите табличку и схему:

Картинка 15 из 12290

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие логарифмические уравнения решаются по определению логарифма.

 

 

 

Задача 15.

Найдите корень уравнения log_{3}\left(4-x \right) = 4.

Решение

Это то же самое, что и 3 в 4 степени равно 4 - х.

4 - х = 81

х = - 77

Ответ: - 77

 

Задача 16.

Найдите корень уравнения log_{7}\left(5-x \right)= 2log_{7}3

Решение

Как видим, могут понадобиться свойства логарифмов.

 

В этом примере  сначала уберем коэффициент "2" перед логарифмом в правой части уравнения, воспользовавшись свойством 6 из таблицы.log

Далее освобождаемся от логарифмов, приравниваем 5 - х и 9.

х = -4.

Проверку можно не делать, т.к. мы заведомо 5 - х приравняли к положительному числу.

Однако не мешает это все-таки делать для самопроверки верного ответа.

Ответ: -4.

 

Задача 17.

Найдите корень уравнения log_{5}\left(x+3 \right)= log_{5}\left(4x-15 \right)

Решение

В силу монотонности логарифмической функции, просто приравниваем аргументы

х + 3 = 4х - 15

х = 6

Обязательно делаем проверку.

ответ: 6

 

Задача 18.

Решите уравнение  log_{5}\left(7-x \right)= log_{5}\left(3-x \right)+1 .

Решение

Представив 1 в виде логарифма по основанию 5, применим свойство 4 вышеприведенной таблицы.

Затем приравняем аргументы, как в предыдущей задаче.

7 - х = (3 - х)·5

х = 2

Обязательно проверяем, ведь корень мог оказаться посторонним, а под логарифмом - отрицательное число.

Ответ:2

 

Задача 19.

Решите уравнение log_{x-5}49 = 2.

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Решение

В этом примере переменная стоит в основании логарифма.

Действуем по определению логарифма.

(х - 5)² = 49 и решаем квадратное уравнение.

Или так: х - 5 = 7 или х - 5 = -7. Последнее не возможно.

х = 12

Ответ: 12.

 


6. Тригонометрические уравнения

 

Рассмотрите таблицы. Вспомните, как решаются простейшие тригонометрические уравнения.

 

Таблицы "Тригонометрические уравнения и неравенства" (12 шт., 50*70 см, ламинированные)Таблицы "Тригонометрические уравнения и неравенства" (12 шт., 50*70 см, ламинированные)

Еще надо помнить значения тригонометрических функций основных аргументов:

 

zn tr

 

 

А если никак не можете запомнить, то загляните на страницу "Тригонометрия на пальцах" по вкладке "Это интересно"

Рассмотрим примеры

 

Задача 20.

Найдите корень уравнения: cos x = \frac{1}{2}

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение

Косинус равен 1/2 в двух точках числовой окружности (имеет смысл ее начертить на черновике).

Берем нижнюю точку, т.к. нам нужен наибольший отрицательный корень.

Это точка соответствует числу   -π/3.

Далее решаем алгебраическое уравнение. Делим обе части на  π/3.

х = 6.

Ответ: 6.

 

Задача 21.

Решите уравнение  tg x = -1  .

В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Решение

По числовой окружности тангенс равен -1 в двух точках. выбираем ту, где он отрицателен. это точка -π/4.

Приравниваем аргументы. Дальше все просто.

Ответ: -1

 

Задача 22.

Решите уравнение sin x = 0,5 .

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение

По числовой окружности видим, что синус равен 0,5 в двух точках. Выбираем ту, которая соответствует наименьшему значению аргумента, т. е. левую. Это точка π/6. Приравниваем аргументы, получаем х = 0,5.

Ответ: 0,5.

 


Видеорешение

 


Закрепление (самостоятельная работа над темой)

 

 

Открываем задачник на странице 191.

Ответы на странице 524-526.

 

К Прототипам задания В5

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

 

 


Тестирование 

test



Справились? Отлично, идите дальше, к следующему заданию В6.

Не удалось?

Проверьте, с какими уравнениями не справились, еще раз разберите решение, порешайте примеры из книги, сверяя ответ.

 

 

Если есть проблемы, и вам нужна помощь, - обращайтесь к учителю.

Связаться со мной

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях. Они не будут оставлены без моего внимания.

Также на эту тему вы можете почитать:

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

11 коммент. к “ЕГЭ. Задание В5. Простейшие уравнения”

  1. Елизавета:

    Мне кажется,что задание№1. Алгебраические целые уравнения не так нешено.
    Если мы умножаем обе части на 9,то в превой части будет не 1,а 81. и тогда 2х=-81 откуда х=-40.5

  2. Спасибо, Лиза! Я исправила.

  3. ирина:

    ЗДРАВСТВУЙТЕ) В задание № 2 Алгебраические целые уравнения решено не верно… х будет равен -8 и -9) а не 8)

  4. ирина:

    № 3 задание 9 .. было 115, а потом 15 стало- это как???

  5. ирина:

    задача 16 то ж не правильная)

    • По-моему, все в порядке. Просто в кавычках в объяснении цифра «2».
      Спасибо за замечания, пиши, буду признательна. У меня не хватает времени все проверить.

  6. ирина:

    задача 19, я думаю из 12 и -2 меньший все таки -2)


Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.