ЕГЭ. Задание В6. Вероятность события

Проверяемые требования (умения): уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

Это задание впервые было представлено на ЕГЭ по математике в 2012 году.

Задание простое.
Важно лишь понять суть вероятности.

   

__________________________________________________________________

 

Объяснительный материал

 

1. Вероятность

Для объяснения понятия вероятности часто используют классический пример о подбрасывании монетки.   Монета имеет две стороны. Когда она падает, то мы видим одну ее сторону - орел или решку. Всего 2 возможных события. Одно из этих событий (допустим, мы хотим, чтобы выпал "орел") является благоприятным.

Вероятностью события называется отношение общего числа успешных событий (в нашем примере оно одно) к числу всех возможных событий (в нашем примере их 2).

Таким образом, вероятность того, что выпадет "орел" равна 1:2 = 0,5. Вероятность всегда заключена в промежутке от 0 до 1.   Число вариантов можно подсчитать, перечисляя все эти возможные события. Но это удобно, если количество вариантов небольшое. В общем случае нам помогут знания из комбинаторики.

 

2. Комбинаторика

Это раздел математики, изучающий количество различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок элементов множеств. Для подсчета числа вариантов события используют 2 правила:

Умножение

Задача 1.. Имеется кодовый замок, состоящий из 3 цифр 1,2,3. Сколько существует вариантов кода?

Событие А:  1-я цифра кода может быть выбрана 3-мя способами (1,2,3).
Событие В: 2-я цифра кода  может быть выбрана тоже 3-мя способами.
Событие С: 3-я цифра кода  может быть выбрана тоже 3-мя способами.
Всего получается 3· 3 ·3 = 27 способов.
Если происходят  каждые из 2-х  или более событий, то число событий умножаются.

Сложение

Задача 2. В классе немецкий язык изучают 13 учеников, французский - 12 учеников. Надо послать на олимпиаду двух учеников, изучающих один и тот же язык. Сколькими способами это можно сделать?

  Имеем 2 события: А - посылаем двух "немцев", В - посылаем двух "французов".   Для события А - 13·12 = 156 способов. Для события В - 12·11 = 132 способа. Всего 156+132 = 288 способов. Мы сложили число способов,т.к. должно было произойти одно из 2-х событий А или В.
Итак, если надо подсчитать число событий А или В, надо сложить количества событий А и В.
Для решения задач комбинаторики удобно использовать формулы.
Если нужно выбрать m элементов из множества n элементов, то в задаче это может быть с повторением или без повторений.
Скажем, вынимаем m шариков из ящика. Если эти шарики при вынимании не кладутся обратно, то получается события без повторений, если же по условию задачи шарики возвращаются в коробку, то снова можно вытащить этот же шарик - это повторение.
Без повторений событий существует 3 типа комбинаторных соединений.

1. Перестановки

Вычисляются по формуле: P(n) = n! , где  n - число элементов множества,

P(n) - число возможных расстановок этих элементов по-порядку.
n! = 1·2·3·...·n -факториал числа n.
Например,  5! = 1·2·3·4·5 = 120.

Задача 3. Имеется 5 книг. Сколькими способами их можно разместить на книжной полке?

Это та же задача на умножение: на первое место можно поставить 5 книг, на второе - 4 из оставшихся, затем 3, 2, и 1. Или вычисляем по формуле  5! = 120.

2. Размещения

Задача 4. Сколько существует  двузначных чисел, составленных из нечетных цифр без повторений?

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Из них можно составить двузначные числа: 13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, 39, 51, 53, 57, 59, 71, 73, 75, 79, 91, 93, 95, 97. Всего 20 чисел. Это можно посчитать по формуле     Ответ: 20

Заметим, что формулу числа размещения применяем, если надо подсчитать количество возможных упорядоченных групп из k  элементов, входящих в группу из n элементов. Т.е. важен порядок размещения этих  k элементов.

 

Задача 5. В соревнованиях по фигурному катанию участвуют 8 юниоров. Сколько существует вариантов призовой тройки?

2013-06-18_113729

Надо посчитать число размещений из 8 по 3, учитывается порядок размещения юниоров по местам).


После сокращения дроби, получим 6·7·8 = 336.

 

 

 Без использования формул можно рассудить так. На 1 место претендуют 8 юниоров, на 2 -е - оставшиеся 7, на 3-е - еще оставшиеся 6. Всего число возможных событий равно 8·7·6 = 336.

 

Перестановка - это частный случай размещения, когда n = k.

 

Задача 6. В соревнованиях по фигурному катанию участвуют 8 юниоров. Сколько существует вариантов протоколов соревнований (распределения по местам)?

 

Это та же задача, что и задача 5, в которой n = k = 8. Можно использовать формулу числа размещения, где (n - k)! = (8-8)! = 0! = 1, но проще - формулу числа перестановок. n! = 8! = 40320.

3. Сочетания

  Если порядок выборки не важен, то число m элементов из множества n элементов вычисляется по формуле
2013-06-17_155525

Задача 7. В коробке 12 конфет. сколькими способами можно выбрать 3 из них?

Здесь не имеет значения очередность выбора конфет. Считаем число сочетаний 3 из 12:
Вычисляем по формуле 2013-06-17_155525где n=12, k=3.
Ответ: 220.
И все же задачи, представленные в открытом банке заданий, достаточно просты и имеют дело с небольшими числами. Поэтому чаще  количество выборок можно подсчитать простым перечислением вариантов.
Рассмотрим примеры.

Задача 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. 

Решение:
Перечислим возможные исходы двух бросаний монеты.
Монеты могут выпасть так:
1) Решка, решка.
2) Решка, орел.
3) Орел, решка.
4) Орел, орел.
Всего возможных исходов 4.
Благоприятных иcходов – 2 (исходы 2 и 3).
Находим вероятность события как отношение 2/4 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Добавим, что иногда в задачах используется противоположное событие. Его вероятность связана с самим событием формулой:
________________________________________________________________________________

Видеорешение

  ________________________________________________________________________________

Закрепление (самостоятельная работа над темой)

  Обратитесь к задачнику.   Откройте его на странице 113.   Решайте предложенные задачи.   Ответы найдете на странице 521-522.

 

К Прототипам задания В10

 

 

 

 

 

 

 

  Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

___________________________________________________________________

Тестирование

Проверьте усвоение темы.

test

 

 

 

Подведите итог. Сделайте вывод о дальнейших шагах в подготовке. Если вам нужна помощь специалиста, обращайтесь. Желаю успехов!

___________________________________________________________________

Связаться со мной: [contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form] Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания.

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.