ЕГЭ. Задание В4. Вероятность события

Проверяемые требования (умения): уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

Это задание впервые было представлено на ЕГЭ по математике в 2012 году.

Задание простое.
Важно лишь понять суть вероятности.

   

__________________________________________________________________

 

Объяснительный материал

 

1. Вероятность

Для объяснения понятия вероятности часто используют классический пример о подбрасывании монетки.   Монета имеет две стороны. Когда она падает, то мы видим одну ее сторону - орел или решку. Всего 2 возможных события. Одно из этих событий (допустим, мы хотим, чтобы выпал "орел") является благоприятным.

Вероятностью события называется отношение общего числа успешных событий (в нашем примере оно одно) к числу всех возможных событий (в нашем примере их 2).

Таким образом, вероятность того, что выпадет "орел" равна 1:2 = 0,5. Вероятность всегда заключена в промежутке от 0 до 1.   Число вариантов можно подсчитать, перечисляя все эти возможные события. Но это удобно, если количество вариантов небольшое. В общем случае нам помогут знания из комбинаторики.

 

2. Комбинаторика

Это раздел математики, изучающий количество различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок элементов множеств. Для подсчета числа вариантов события используют 2 правила:

Умножение

Задача 1.. Имеется кодовый замок, состоящий из 3 цифр 1,2,3. Сколько существует вариантов кода?

Событие А:  1-я цифра кода может быть выбрана 3-мя способами (1,2,3).
Событие В: 2-я цифра кода  может быть выбрана тоже 3-мя способами.
Событие С: 3-я цифра кода  может быть выбрана тоже 3-мя способами.
Всего получается 3· 3 ·3 = 27 способов.
Если происходят  каждые из 2-х  или более событий, то число событий умножаются.

Сложение

Задача 2. В классе немецкий язык изучают 13 учеников, французский - 12 учеников. Надо послать на олимпиаду двух учеников, изучающих один и тот же язык. Сколькими способами это можно сделать?

  Имеем 2 события: А - посылаем двух "немцев", В - посылаем двух "французов".   Для события А - 13·12 = 156 способов. Для события В - 12·11 = 132 способа. Всего 156+132 = 288 способов. Мы сложили число способов,т.к. должно было произойти одно из 2-х событий А или В.
Итак, если надо подсчитать число событий А или В, надо сложить количества событий А и В.
Для решения задач комбинаторики удобно использовать формулы.
Если нужно выбрать m элементов из множества n элементов, то в задаче это может быть с повторением или без повторений.
Скажем, вынимаем m шариков из ящика. Если эти шарики при вынимании не кладутся обратно, то получается события без повторений, если же по условию задачи шарики возвращаются в коробку, то снова можно вытащить этот же шарик - это повторение.
Без повторений событий существует 3 типа комбинаторных соединений.

1. Перестановки

Вычисляются по формуле: P(n) = n! , где  n - число элементов множества,

P(n) - число возможных расстановок этих элементов по-порядку.
n! = 1·2·3·...·n -факториал числа n.
Например,  5! = 1·2·3·4·5 = 120.

Задача 3. Имеется 5 книг. Сколькими способами их можно разместить на книжной полке?

Это та же задача на умножение: на первое место можно поставить 5 книг, на второе - 4 из оставшихся, затем 3, 2, и 1. Или вычисляем по формуле  5! = 120.

2. Размещения

Задача 4. Сколько существует  двузначных чисел, составленных из нечетных цифр без повторений?

Нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, 9. Из них можно составить двузначные числа: 13, 15, 17, 19, 31, 35, 37, 39, 51, 53, 57, 59, 71, 73, 75, 79, 91, 93, 95, 97. Всего 20 чисел. Это можно посчитать по формуле     Ответ: 20

Заметим, что формулу числа размещения применяем, если надо подсчитать количество возможных упорядоченных групп из k  элементов, входящих в группу из n элементов. Т.е. важен порядок размещения этих  k элементов.

 

Задача 5. В соревнованиях по фигурному катанию участвуют 8 юниоров. Сколько существует вариантов призовой тройки?

2013-06-18_113729

Надо посчитать число размещений из 8 по 3, учитывается порядок размещения юниоров по местам).


После сокращения дроби, получим 6·7·8 = 336.

 

 

 Без использования формул можно рассудить так. На 1 место претендуют 8 юниоров, на 2 -е - оставшиеся 7, на 3-е - еще оставшиеся 6. Всего число возможных событий равно 8·7·6 = 336.

 

Перестановка - это частный случай размещения, когда n = k.

 

Задача 6. В соревнованиях по фигурному катанию участвуют 8 юниоров. Сколько существует вариантов протоколов соревнований (распределения по местам)?

 

Это та же задача, что и задача 5, в которой n = k = 8. Можно использовать формулу числа размещения, где (n - k)! = (8-8)! = 0! = 1, но проще - формулу числа перестановок. n! = 8! = 40320.

3. Сочетания

  Если порядок выборки не важен, то число m элементов из множества n элементов вычисляется по формуле
2013-06-17_155525

Задача 7. В коробке 12 конфет. сколькими способами можно выбрать 3 из них?

Здесь не имеет значения очередность выбора конфет. Считаем число сочетаний 3 из 12:
Вычисляем по формуле 2013-06-17_155525где n=12, k=3.
Ответ: 220.
И все же задачи, представленные в открытом банке заданий, достаточно просты и имеют дело с небольшими числами. Поэтому чаще  количество выборок можно подсчитать простым перечислением вариантов.
Рассмотрим примеры.

Задача 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. 

Решение:
Перечислим возможные исходы двух бросаний монеты.
Монеты могут выпасть так:
1) Решка, решка.
2) Решка, орел.
3) Орел, решка.
4) Орел, орел.
Всего возможных исходов 4.
Благоприятных иcходов – 2 (исходы 2 и 3).
Находим вероятность события как отношение 2/4 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Добавим, что иногда в задачах используется противоположное событие. Его вероятность связана с самим событием формулой:
________________________________________________________________________________

Видеорешение

  ________________________________________________________________________________

Закрепление (самостоятельная работа над темой)

  Обратитесь к задачнику.   Откройте его на странице 113.   Решайте предложенные задачи.   Ответы найдете на странице 521-522.

 

К Прототипам задания В10

 

 

 

 

 

 

 

  Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

___________________________________________________________________

Тестирование

Проверьте усвоение темы.

test

 

 

 

Подведите итог. Сделайте вывод о дальнейших шагах в подготовке. Если вам нужна помощь специалиста, обращайтесь. Желаю успехов!

___________________________________________________________________

Связаться со мной: [contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form] Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания.

Также на эту тему вы можете почитать:

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.