ЕГЭ. Задание В3 (2 часть). Метод Пика

И снова "Задачи в клеточку" или площади фигур, а также метод Пика

Рисунок42

Разберем более подробно.

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь. Тогда справедливы формулы:

Рисунок1

S =  ½ · ab

 

S =    ½ · ch

Рисунок2

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Рисунок18

 

S = ½·7· = 10,5

Ответ: 10,5

 

 

 

 

 

 

 


Площадь произвольного треугольника

S =    ½ · ah

остроугольного

Рисунок2

 

тупоугольного

Рисунок5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок19

 

S= ¼·4·8 = 16

 

Ответ: 16.

 

 

Пример 3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах

Рисунок20

 

S = ½·3·8 = 12

 

Ответ: 12.

 

 

Задача 4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Рисунок21

 

S = ½·3·8 = 12

 

Ответ: 12.

 

 

 


 Площадь параллелограмма

Пусть а − сторона параллелограмма, hа – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь. Тогда справедлива формула:

S = ahаРисунок11

Рисунок9

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок36

S =  4 · 7 = 28

Ответ: 28.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок22

 

S = 4·7 = 28

 

Ответ: 28.

 

 

 

 

 

Задача 7. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок27

 

Найдем сторону квадрата по теореме Пифагора:

Рисунок28

 

S = a² = 50.

 

Ответ: 50

 

 

 

Задача 8. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок29

 

Найдем стороны прямоугольника по теореме Пифагора:

 

Рисунок30

 

Рисунок31

 

Рисунок32

 

Ответ: 20.


 

Площадь трапеции

Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции. Тогда справедлива формула:

S =  ½ (a+b)h

Рисунок12

 

Рисунок13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок23

 

S = ½(8+4)·5 = 30

 

Ответ: 30.

 

 

 

Задача 10. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок35

 

S = ½(2+7)·8 =36

 

Ответ: 36.

 

 

 

 


 

Площадь четырехугольника

Пусть d1 и d2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь. Тогда справедлива формула:

S =   ½ d1d2 sin α

Рисунок14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок15

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Рисунок24

 

S = ½·8·4 = 16

 

 

Ответ: 16.

 


 

Свойства площадей

Если фигура разбита на части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

Задача 12. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок25

Достроим зеленый треугольник до прямоугольника.

 

Площадь прямоугольника равна 9·8 = 72 и равна сумме площадей фигур разного цвета, из которого он состоит.

Находим площадь каждой фигуры (трех прямоугольных треугольников) S жел = ½·1·8 = 4

S син = ½·9·6 = 27

S роз = ½·2·8 = 8

Площадь искомой фигуры равна 72 - (4+27+8) = 33.

Ответ: 33.

 

Задача 13. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Рисунок26

S = 8·9 - (½·8·9 +½·7·4 + ½·5·1 + 4·1) =  15,5

Ответ: 15,5.

 

 

 

 

 

 

Задача 14. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок33

 

Площадь всей фигуры равна сумме площадей двух треугольников.

s1 = ½·5·3 = 7,5

s2 = ½·5·4 = 10

S = 7,5 +10 = 17,5

Ответ: 17,5.

 

 

Задача 15. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок34

 

Площадь искомой  (розовой) фигуры равна разности площадей двух треугольников:
S1 = ½·8·6 = 24

S2 = ½·8·4 = 16

S = 24 - 16 = 8.

Ответ: 8.

 

Задача 16. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок37

Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2.

Значит, площадь данного четырехугольника равна половине произведения диагоналей, т.е. 16.

Ответ: 16.


Теорема Пика

Пусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

S = L + B/2 – 1

Рисунок42

Пример 1.

Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки),

B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому

S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц.

Рисунок43

 

 

Пример 2.

L = 18 (красные точки),

B = 10 (синие точки), поэтому

S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц.

 

 

 

Задача 17. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок44

L = 15 (красные точки),

B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 15 + 4/2 – 1 = 16

Ответ: 16.

 

 

 

 

Задача 18. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рисунок45Решение: (1 способ)

S = 9 · 9 - (½ · 5 · 6 + ½ · 9 · 4  + ½ · 5 · 5 + ½ · (3 + 5) · 4 = 81 - (15+18+ 12,5 +16) = 19,5.

 

Рисунок46

 

Решение: (2 способ)

L = 16 (красные точки),

B = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика

S = L + B/2 – 1

S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5

Ответ: 19,5.

 

 

 

 

 


 

Теперь, надеюсь, тест вы пройдете "запроста"!

ABC

 

 

 

 

 


При возникновении проблем    обращайтесь за помощью к учителю.

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях.

Комментарии 1

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.