ЕГЭ. Задание В3. Площади фигур


b3Проверяемые

 требования (умения):

Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Задание В3 является геометрической задачей.

Задача настолько может быть легкой, что с ней может справиться и второклассник, впервые познакомившийся с понятием  "площадь". Но не обольщайтесь, таких легких задач очень мало в банке заданий!

 

 


 

Что было во 2-м классе и что надо непременно знать

Наверное, и у вас это было:  измеряли площадь фигуры с помощью палетки, или накрывали фигуру сверху калькой, на которой были нанесены клеточки.

Если фигура изображена в тетради, то клеточки уже есть, и их осталось посчитать.

 

Но скорее всего ваша фигура не будет состоять из целого количества клеток.

 

Тогда остается 2 варианта:

1. Сообразить, как получить такую фигуру, чтобы можно было посчитать количество вмещаемых клеток.

2. Применить формулу площади фигуры

Может быть, вы и сами справитесь с такой задачей?  Проверьте себя.


 

Вводное тестирование

 

Начнем с теста. Надо же понять, решаете ли вы с ходу такое задание или не совсем...

На тест из 10 задач дается 1 час.
Приготовьте бумагу (черновик) и ручку
Система проверит ваши ответы и покажет результат.
Желаю успехов!

Тест В3-1:

ABC

 

 

 

 

 

Справились? Хорошо. Но все же посмотрите материал, разберите прототипы задания. Для уверенности.

Не получилось? Тогда вам надо поработать основательней.

Разберите прототипы, поработайте самостоятельно над задачами.

При затруднении обращайтесь за консультацией к учителю.


Задачи в клеточку

 

Рассмотрим решения типичных задач этого типа из открытого банка заданий.

Задача 1

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

1 см· 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

get_file

Решение.

Легко догадаться, что треугольник является половиной прямоугольника, площадь которого можно найти, либо подсчитав количество вмещаемых клеток, либо по известной формуле, умножив длину на ширину.

Итак, площадь прямоугольника равна 6*2 = 12,тогда его  половина 6.

Ответ: 6

 

Задача 2.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см · 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

2

Решение.

Здесь тоже можно достроить треугольник до прямоугольника, но он уже не будет его половиной. Какой частью - не легко ответить на этот вопрос.

Значит предыдущий способ не годится.

Однако задача легко решается, если вспомнить формулу площади треугольника.

S = 1/2 a·h,

где a -основание треугольника (примем за основание горизонтальную сторону длиной 6),

h - высота, показывающая, на сколько вершина треугольника расположена выше этого основания, в данном случае высота равна 3.

Применяем формулу, умножая основание на высоту и делим пополам. Получаем 9.

Ответ: 9.

 

Задача 3.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см · 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

3

Решение.

Эта задача практически ничем  не отличается от предыдущей.

Просто сам треугольник тупоугольный.

За основание берем горизонтальную сторону.

Она равна 6.

Тогда вершина находится от горизонтальной прямой основания на расстоянии 3.

Умножаем 6 на 3 и делим пополам. получаем 9.

Ответ: 9.

 

Задача 4.

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см · 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4

Решение.

Здесь же нет ни одной вертикальной или горизонтальной стороны.

Да и число клеток подсчитать затруднительно.

Как быть?

 

Если подумать, то решение непременно придет.

Например, так.

5

Достроим треугольник до квадрата так, как вы видите на рисунке.

Площадь всего квадрата равна 5·2=25

Теперь вычислим площадь каждого прямоугольного треугольника
Их площади вычисляются как половины площадей соответствующих им прямоугольников, или половины произведения катетов., которые пришлось добавить к исходному треугольнику.

Вычисляем: 5·2/2= 5.  Таких треугольников 2.

И еще один имеет площадь 3·3/2 = 4,5.

Всего лишних треугольников 3 и они имеют общую площадь 5+5+4,5 = 14,5.

От площади всего квадрата отнимаем площадь лишних треугольников 25 - 14,5 = 10,5

Ответ: 10,5

 

Задача 5.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см · 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

6

 

Решение.

Этот четырехугольник  является трапецией, т.к. у него две стороны (вертикальные) параллельны, а две другие - не параллельны.

Поэтому проще использовать формулу площади трапеции, нежели решать предыдущим способом (хотя возможно, особенно если забыли формулу площади


Площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту.
трапеции).

За основания, естественно, берем параллельные стороны.

Тогда высота равна расстоянию между этими основаниями.

Высоту можно изобразить горизонтально, поэтому ее длину легко подсчитать.

(1+4)*6/2 = 15

Ответ: 15.

 

Задача 6.

Найдите (в см2) площадь  фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см · 1 см (см. рис.). В ответе запишите S/π.

7

Это 3/4  часть круга.

Находим площадь самого круга: по формуле πг² =π·16 , где г - его радиус, равный 4.

Умножаем на 3/4:

S = 16 π·3/4 =12π

В ответе требуется записать

S/π .

Понятно, почему. Ведь число π в ответе присутствовать не должно! Поэтому придумали такой вопрос.

Помните, что ответ в любой задаче части В должен быть выражен целым числом или конечной десятичной дробью.

Ответ: 12.

 

Задача 7. 

Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

8

Решение:

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции.

Значит, чтобы найти среднюю линию, надо площадб трапеции разделить на ее высоту:

150:10 = 15.

Ответ: 15.


 

Фигуры на координатной плоскости

 

Фигура может быть расположена не на бумаге в клеточку, а в координатной плоскости.

От этого методы решения не меняются.

Можно лишь добавить координатный метод, с использованием формул расстояния между точками и пр. формулами.

Но простота задачи не заслуживает такого метода решения. Необходимые длины сторон хорошо видны на чертеже.

Иногда удобно искать длины сторон по теореме Пифагора.

Задача 8.

Найдите площадь прямоугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (9;1), (1;9), (0;8).

9

Решение.

Не трудно доказать (или хотя бы "увидеть"), что четырехугольник является прямоугольником.

Поэтому достаточно найти его стороны.

Их то мы и найдем по теореме Пифагора: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

Большая сторона: 8² +8² = √128 = 8√2

Меньшая сторона равна √2.

Умножаем √2 на 8√2 = 16

Ответ: 16.

 

 

Задача 9.

Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки  O(0;0) и A(-9;12), с осью абсцисс.

Решение.

Для решения можно начертить координатную плоскость, изобразить на ней точки с данными координатами. Определить, где этот самый угол, синус которого надо найти.

Ну а тем, кто хорошо владеет тригонометрией, понятно, что надо просто найти расстояние ОА и разделить ординату точки А на найденное расстояние.

ОА² = (0+9)² +(0-12)² = 81+144 = 225 = 15²

ОА = 15

sin α = 12/15 = 4/5 = 0,8.

Ответ: 0,8

 


 

Есть задачи на нахождение координат середины отрезка или симметричных точек, расстояния между точками или до оси координат.

 

В открытом банке заданий присутствуют и более сложные случаи.

Задача 10.

Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

MA.OB10.B6.59/innerimg0.jpgРешение.

Можно решать эту задачу, разбив многоугольник на треугольники с общей вершиной в центре, но это не эффективно.

Лучше применить формулу, связывающую радиус окружности r и полупериметр p вписанного многоугольника с площадью многоугольника S.

Формула простая: S = p·r.

Таким образом, площадь многоугольника равна  10·3 = 30

Ответ: 30

 


А векторы?

Не будет ли для вас открытием то, что в открытом банке заданий есть задачи В3 на векторы?

Вот такие, например.

 

Задача 11.

Диагонали ромба ABCD равны 28 и 17. Найдите длину вектора  AD+AB.

MA.OB10.B6.144/innerimg0.jpg

Решение.

Искомый вектор - это вектор АС по правилу параллелограмма.

Его длина равна 28, длине большей диагонали, которая известна по условию.

 

Ответ: 28/

 


 

Подведем итоги

 

Чтобы решить задачу В3, надо сообразить, как эту фигуру (из каких частей) составить или использовать формулу площади соответствующей фигуры.

Желательно формулы площадей иметь в памяти!

 2013-02-02_083101

 

А лучше решайте задачу двумя способами, для проверки.

 

В открытом банке заданий встречаются такие фигуры, как треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, просто четырехугольник, круг и части круга.

Повторите формулы площадей этих фигур.


 

Видеорешение

 


 

Переходим к закреплению.

 

Чтобы усвоить тему, запомнить формулы площадей разных фигур, освоить методы решения задач этого типа, рекомендую прорешать задачи В3 на страницах 368-419 сборника.

 

 

Желаю успехов!

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

Все получалось? Отлично.

В случае неудачи можете записаться   на     консультацию к учителю.

Желаете более подробно поработать над темой? Вам сюда 

Если у вас есть вопросы или пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать их в комментариях ниже. 

Также на эту тему вы можете почитать:

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

8 коммент. к “ЕГЭ. Задание В3. Площади фигур”

  1. Для школьной программы отличное дополнение. Спасибо за урок.

  2. ирина:

    задача 3, там рисунок не подходит или решение))

  3. Оксана:

    Спасибо огромное за Ваш замечательный сайт. С его помощью не сдать экзамен просто невозможно!

  4. Роман:

    Задача №3. Умножаем 6 на 3 и делим пополам получается 4,5 Это как та? 6 на 3 = 18 пополам 9

  5. дайте нормальную задачу


Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.