2013-03-02_094510Повторяем планиметрию?

Нет, изучаем в совершенстве!

Чтобы справиться с заданием С4 :




Если вы хотите научиться плавать –  смело входите в воду.

                                                    Если вы хотите научиться решать задачи –  решайте их!

                                   Д. Пойа.  


 

План подготовки

1. Опорные задачи.

2. Различные методы решения планиметрических задач

3. Различные ситуации неоднозначности условия

4. Разбор решения трудных планиметрических задач

 


 

Ознакомьтесь или повторите

Рассмотрите чертежи, прочитайте теоремы.

Применяйте их при решении задач .

 Угол и параллельные прямые

2012-04-01_170046

Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные между собой отрезки и провести через их концы параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся также равные между собой отрезки.

 

 

Утверждение верно не только для сторон угла, но и для любых двух прямых.

2012-04-01_170445

Более общее утверждение:

Если на одной прямой отложить отрезки в определенном отношении и провести через их концы параллельные прямые, то на другой прямой отложатся отрезки в том же отношении.

 

Треугольник

 

Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.

1

Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

 

2

Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников

 

2013-02-25_120108

 

 

 

 

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности.

2012-04-01_155515

 

 

 

 

Биссектриса делит сторону треугольника на части,  пропорциональные длинам прилежащих сторон.

2013-02-25_121709

 

 

 

 

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

2012-04-01_160800

 

 

 

 

Отношение площадей треугольников,  имеющих общий угол,  равно отношению произведению сторон этого угла.

S(ABC) : S(ADE) = (AC ·AB)  : (AD ·AE)

2012-04-01_161316

 

 

 

 

 

 

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам.

 

2012-04-01_162615

 

 

Все серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника, пересекаются в одно точке - центре описанной окружности.

Центр окружности,  описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

3

 

 

 

 

 

 

Все прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке - ортоцентре.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри него.

2013-02-25_131220

 

 

 

 

 

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне его.

 

2012-04-01_161946

 

 

 

 

 

 

 

Если О –  ортоцентр  треугольника АВС, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВО, ВСО, АСО равны между собой.

Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

2013-02-25_131519

 

 

 

 

Пусть в треугольнике АВС проведены высоты  AD и  CE. Тогда треугольник  DBE подобен данному  с  коэффициентом подобия, равным cos B .

2012-04-01_164656

 

 

 

 

 

 

2012-04-01_165101

 

Высоты  остроугольного  треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника (треугольник, образованный основаниями высот).

 

 

 

Параллелограмм

 

2012-04-01_172119

 

Биссектриса  угла  параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

 

 

 

2012-04-01_171931

 

Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны,  а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

 

 

Трапеция

2012-04-01_172451

 

 

Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника  (примыкающих к боковым сторонам)  и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям).

 

 

2012-04-01_173148

 

 

Трапеция вписана в некоторую окружность тогда и только тогда, когда она является

равнобедренной

 

 

2012-04-01_173424

 

 

Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований (средней линии).

 

Центр окружности, описанной около трапеции,  лежит  на  пересечении  серединных перпендикуляров  к сторонам трапеции

 

Окружность

 

2012-04-01_173817Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

 

 

 

 

 

 

2012-04-01_174459

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2012-04-01_175005Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы прямоугольного треугольника, равен полупериметру этого треугольника

 

 

 

 

Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной  AB равно

2012-04-01_175302

 

 

Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов  r  и  R  равен

Пусть окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A  до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника  ABC.

 

Радиус  (диаметр),  перпендикулярный хорде, делит хорду пополам.

2012-04-01_175506

 

 

 

 

 

При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.

2012-04-01_175627

 

 

 

 

 

2012-04-01_175742

 

 

 

При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем – по одну сторону.

Раccтояние между центрами касающихся окружностей радиусов  R и r  равно  R + r при внешнем касании и  R - r при внутреннем.

2012-04-01_175939

Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам

 

Конечно, это далеко не все теоремы планиметрии. Более подробно вы узнаете на следующих страницах сайта.


Примеры задания

Пример 1.
1

4а
5п

 2013-03-08_191223


Пример 2
Видео-решение задачи

2013-03-09_082141

5

 

Самостоятельная работа над заданиями может быть проведена с помощью пособия:
Корянов А.Г, Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) (типовые задания С4)

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ

Связаться со мной

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях. Они не будут оставлены без моего внимания.

Также на эту тему вы можете почитать:

Добавить комментарий


Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.