ЕГЭ. Задание В14: Текстовая задача

Проверяемые требования и умения: уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

С текстовыми задачами вы сталкивались на протяжении многих лет учебы в школе.

Все они предполагают математическое моделирование какого-либо события.

В принципе решаются все по одному алгоритму:

  1. Выбирается и обозначается буквой неизвестная(ые).
  2. Составляется уравнение (или система уравнений) с использованием неизвестных и условия задачи.
  3. Решается полученное уравнение (система).
  4. Выбирается решение по смыслу задачи.



Чаще всего такие задачи делятся на виды:

  1. на движение
  2. на работу
  3. на смеси
  4. экономического содержания, на проценты и другие.

 

_________________________________________________________________________

Объяснительный текст

 

1. Текстовые задачи на движение

 

Задачу на движение удобно начинать со схемы для понимания условия.

Обычно рассматривается равномерное движение и используется простая формула S = v·t

Как видим из формулы, в задаче используются 3 величины: путь,  скорость и время.

Для каждой величины в таблице отведем столбик.

В строчках будем записывать виды (или части) движений, согласно условию задачи (например, по течению и против течения, или поезд и самолет и т.д.).

 

Будем постепенно заполнять таблицу. Внесем сначала неизвестную величину (х) и величины, которые известны по условию. Как только 2 столбика заполняются, третий столбик получается из формулы. Затем найдем по условию задачи равные величины и приравняем их между собой. Получится уравнение.

 

Задача 1.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость велосипедиста в первый день равна х, тогда на обратном пути х+3.

Заполняем таблицу:

v t s
туда x 70/x 70
обратно x+3 70/x+3 70

 

 

Т.к.  на обратном пути он сделал остановку на 3 часа и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В, то

 

 

 

х=7

Отвечаем на вопрос задачи: х+3 = 10

Ответ: 10.

 

 

Задача 2.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение

За х примем скорость течения реки.

Заполняем таблицу:

v t s
По течению 15+х 200/15+x 200
Против течения 15-х 200/15-x 200

 

 

 

Т.к. в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него и стоянка длится 10 часов, то

 

 

х=5

Ответ:5.

 

Задача 3.

Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость первого автомобиля х км/ч.

v t s
1 x 350/x 350
2 60 120:60=2 470-350=120

 

 

 

Т.к. первый автомобиль был в пути на 3 ч больше второго, то

 

х=70

Ответ6 70

 

2. Задачи на работу

 

Задачи на работу требуют использования формулы А = Р·t, где А объем работы, Р - производительность, t - время.

Учитываем, что производительность при выполнении разных работ (отдельной или совместной) не изменяется.

 

 

 

 

 

Задача 4.

На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение

Обозначим за х время работы 1-го рабочего на выполнение своей работы.

Заполняем таблицу:

P t A
1 475/x x 475
2 550/x+6 x+6 550

 

Учитывая, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй, получаем уравнение:

 

 

Решаем уравнение:   475(х+6) - 550х = 3х(х+6)

x = 19

Отвечаем на вопрос задачи:

475/x =25

Ответ: 25.

Задача 5.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Игорь и Паша красят забор за 9 часов а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

 

Решение

В таких задачах удобно всю работу (покраску забора) принять за 1.

Пусть производительность Игоря х, Паши - y, Володи - z.

Заполняем 3 таблицы согласно  трем условиям.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов

P t A
Игорь х 9 9x
Паша y 9 9y

 

 

 

Игорь и Паша красят забор за 9 часов

P t A
Володя z 12 12z
Паша y 12 12y

 

 

Володя и Игорь — за 18 часов

P t A
Володя z 18 12z
Игорь х 18 18х

Т.к. в каждом случае они вместе выполняли всю работу, то

 

 

Сложим почленно эти уравнения

 

 

 

 

 

Итак, вместе за 1 час они покрасят 1/8 часть забора.

Значит, весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8.

 

3. Задачи на смеси

 

В задачах на смеси надо понимать, что смесь состоит из частей и какая часть чаще всего сохраняется при переливании.

 

 

 

 

Задача 6.

Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Примем за х массу первого сплава.

Составим таблицу согласно условию задачи и заполним ее, проводя решение.

сплав Масса всего Меди в % Меди в кг
1 х 10 0,1х
2 х+3 40 0,4(х+3)
3 2х+3 30 0,3(2х+3)

Примем во внимание, что третий сплав получился из слияния первого и второго сплавов:

0,1х + 0,4(х+3) = 0,3(2х+3)

Решая уравнение, получаем, что х = 3.

Отвечаем на вопрос задачи 0,3(2х+3) = 2,7

Ответ: 2,7.

 

 

Задача 7.

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

сосуд Масса всегор-ра Кислотыв % Кислотыв кг
1 30 х 0,3x
2 20 y 0,2y
3 50 68 50·0,68 = 34

Решение

Первое уравнение:  0,3x + 0,2y = 34

Если же смешать равные массы этих растворов (допустим, по 10):

сосуд Масса всегор-ра Кислотыв % Кислотыв кг
1 10 х 0,1x
2 10 y 0,1y
3 20 70 20·0,7 =14

Второе уравнение: 0,1x + 0,1y = 14

Решаем систему.

х = 60, y = 80.

Отвечаем на вопрос задачи

Ответ: 60.

 4. Экономическая задача с процентами

 

С задачами с процентами мы уже разбирались на примерах задания 1. Только здесь эти задачи посложнее.

 

 

 

 

 

Задача 8.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение

Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, т.е. изменилась бы на зарплату мужа, то общий доход семьи вырос бы на 67%.

Значит, зарплата мужа составляет  67% бюджета семьи.

Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, т.е. изменилась бы на 2/3 стипендии дочери, то общий доход семьи сократился бы на 4%.

Значит, 2/3 стипендии составляет 4% бюджета.А вся стипендия - 6%.

Доход жены: 100 - (67 + 6) = 27

Ответ: 27%.

 

Задача 9.

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%.

100% - стоимость куртки.

Четыре рубашки - 92%

1 рубашка - 23%

5 рубашек - 115 %

Это больше стоимости куртки на 15 %.

Ответ: 15.

 

Задача 10.

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение

Митя внес 14% уставного капитала

Антон  — 42000 рублей - это составляет 21% от общего капитала в 200000 рублей.

Гоша  — 0,12 уставного капитала, что равно 1 %.

Митя, Антон и Гоша вместе внесли 47% всего капитала.

Борис внес 100 - 47 = 53%, значит и прибыль он получит в 53% от 1000000.

Это составляет 530000 рублей

Ответ: 530000.

 

Задача 11.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Решение

При получении изюма теряется влага, а сухое вещество остается неизменным.

Виноград содержит 10% сухого вещества, изюм - 95%,

Надо получить изюма 20 кг. В нем будет 0,95·20 = 19 кг сухого вещества.

Это составляет 10% от всего винограда.

Весь виноград  - 190 кг.

Ответ: 190.

 

Задача 12.

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение

300% = 3.

В 2001 году Бубликов получил прибыль 2000·3 и заработал всего  2000·3+2000 = 2000·(3 +1) =  2000·4

В 2002 году - прибыль  2000·4·3 и заработал  2000·4·4  и т.д.

В 2003 году Бубликов заработал 2000·4·4·4 = 128000 рублей

Ответ: 128000.

 

_________________________________________________________________________

 

Видеорешение

 

 

_______________________________________________________________________

Закрепление (самостоятельная работа)

Теперь порешайте задачи типа В13 из сборника "3000 задач с ответами" самостоятельно.

Задачи по этой теме найдете на странице 237, а ответы к ним - на станице 531.

К Прототипам задания В13

 

 

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

 

______________________________________________________________________________________________

Тестирование

test

 

 

 

Если возникли трудности, обращайтесь за помощью к учителю.

 

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания.

Также на эту тему вы можете почитать:

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.