ЕГЭ. Задание В12. Экстремальная задача

Проверяемые требования и умения: уметь выполнять действия с функциями.

В15 - это задача на нахождение экстремумов функции или точек экстремума. Чаще всего задача легко решается с помощью производной. Для этого надо уметь находить производные функций.


Предварительное тестирование

Пройдите тест, испытайте себя в умении решать задачи на экстремум.

Тест В14-1

test

Если результат отличный, то вам достаточно "просмотреть" материал. Если же результат вас не устроил, то вам надо поработать над ним серьезней. В помощь - эта страница.


Объяснительный текст

 

1. Нахождение производной

 

Рассмотрите таблицы.

Вспомните:

  • формулы нахождения производных основных функций
  • правила нахождения производных функций
  • нахождение производной сложной функции

При нахождении производной следуйте правилам:

  • константу можно выносить за знак производной
  • производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
  • производная произведения и частного (дроби) находится сложнее (см. формулы в таблице)
  • производная сложной функции равна произведению производных внутренней и внешней функций

2. Алгоритм нахождения точек экстремума

  1. Найти область определения функции;
  2. Найти производную  данной функции;
  3. Приравнять эту производную к нулю;
  4. Решить полученное уравнение;
  5. Разбить этими решениями координатную прямую на промежутки (при этом ещё надо не забыть о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются критическими точками, "подозрительными" на экстремум;
  6. Определить знак производной на каждом из промежутков.
  7. Если при прохождении через критическую (стационарную) точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка 
    будет точкой максимума, а если с минуса на плюс, то

    соответственно – точкой минимума.

Есть другой способ, с использованием  второй производной. Тогда точка, в какой первая производная равна нулю, а вторая больше нуля, будет точкой минимума, а если в точке первая производная равна нулю, а вторая меньше нуля, то эта точка будет точкой максимума.

Задача 1.

Найдите точку максимума функции  , х > -5

Решение Находим производную:

Приравниваем к 0:

  Решаем полученное уравнение: х = -4. Отмечаем -4 на числовой оси и расставляем знаки производной на каждом из полученных промежутков:

Т.к. производная в точке -4 меняет знак с + на -, то эта точка является точкой максимума.

Ответ: -4.

Задача 2.

Найдите точку максимума функции

Решение Функция является сложной. Можно действовать по алгоритму, но производная будет выглядеть громоздко. А можно упростить себе решение, используя тот факт, что если внешняя функция возрастающая, то точка максимума всей функции будет совпадать с точкой максимума внутренней функции.

Остается найти точку максимума внутренней функции y = 4-4x - x².

Для этой функции можно использовать алгоритм, приведенный выше, а можно, зная, что она квадратичная, найти абсциссу вершины параболы. В любом случае мы получим точку максимума х = -2 Ответ: -2


 2. Наибольшее и наименьшее значения функции

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:

Пусть функция y=f(x), непрерывна на отрезке [a, b].

  1. Найти все критические (стационарные) точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
  2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
  3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
 

Задача 3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [6;8].

Решение

Функция всюду непрерывна. Находим производную: Приравниваем к нулю:  х = 7. Эта точка принадлежит указанному интервалу. Находим и сравниваем значения функции в точках 6, 7, и 8. >-1

y(8) = 0
y(7)=-1
Выбираем меньшее.

Ответ -1.

Задача 4.

Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx - 6x + 4 на отрезке  .

Решение Функция всюду непрерывна. Находим производную: Приравниваем к нулю и замечаем, что уравнение не имеет решений, т.к. синус по модулю не должен превосходить 1.

Значит, критических (стационарных) точек нет и функция монотонна.

А именно убывающая. Такая функция наименьшее значение принимает в самой "правой" точке, т.е. в точке 0. Находим y(0) = 9 Ответ: 9.

Задача 5. Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+7) - 8x +3 на отрезке [-6,5;0]. 

Решение

Сравнивать значения этой функции в точках -6,5 и 0 будет не удобно.

Поэтому лучше провести более полное исследование. Функция непрерывна при х > -7. Находим производную:

Приравниваем к нулю:  х = -6. Эта точка принадлежит указанному интервалу.

Отмечаем точку на оси х, определяем знаки производной:

Становится понятным, что наибольшее значение функция принимает в точке -6. Находим это значение: y(-6) = 8ln1+8·6+3 = 51

Ответ: 51.


Видеорешение


 

Самостоятельная работа

Следующий этап - самостоятельная работа над задачами этого типа. Обращаемся к пособиям 1. Задачник На странице 351 вы найдете типичные задачи, ответы на которые есть на страницах 533-535.               2. Рабочая тетрадь EGE-B14-Shestakov

К Прототипам В14

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.  


Контрольное тестирование

Тест В14-2

test

 

Надеюсь, что все в порядке?


Если возникли трудности, обращайтесь за КОНСУЛЬТАЦИЕЙ К УЧИТЕЛЮ.

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания. Перейти к следующей странице

Также на эту тему вы можете почитать:

Комментарии 2

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.