ЕГЭ. Задание В11. Текстовая задача

textzad

Проверяемые требования и умения: уметь строить и исследовать простейшие математические модели.

 

С текстовыми задачами вы сталкивались на протяжении многих лет учебы в школе.

Все они предполагают математическое моделирование какого-либо события.

В принципе решаются все по одному алгоритму:

  1. Выбирается и обозначается буквой неизвестная(ые).
  2. Составляется уравнение (или система уравнений) с использованием неизвестных и условия задачи.
  3. Решается полученное уравнение (система).
  4. Выбирается решение по смыслу задачи.



Чаще всего такие задачи делятся на виды:

  1. на движение
  2. на работу
  3. на смеси
  4. экономического содержания, на проценты и другие.

 

_________________________________________________________________________

Объяснительный текст

 

1. Текстовые задачи на движение

 

Задачу на движение удобно начинать со схемы для понимания условия.

Обычно рассматривается равномерное движение и используется простая формула S = v·t

Как видим из формулы, в задаче используются 3 величины: путь,  скорость и время.

Для каждой величины в таблице отведем столбик.

В строчках будем записывать виды (или части) движений, согласно условию задачи (например, по течению и против течения, или поезд и самолет и т.д.).

 

Будем постепенно заполнять таблицу. Внесем сначала неизвестную величину (х) и величины, которые известны по условию. Как только 2 столбика заполняются, третий столбик получается из формулы. Затем найдем по условию задачи равные величины и приравняем их между собой. Получится уравнение.

 

Задача 1.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость велосипедиста в первый день равна х, тогда на обратном пути х+3.

Заполняем таблицу:

v t s
туда x 70/x 70
обратно x+3 70/x+3 70

 

 

Т.к.  на обратном пути он сделал остановку на 3 часа и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В, то

 

 

 

х=7

Отвечаем на вопрос задачи: х+3 = 10

Ответ: 10.

 

 

Задача 2.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение

За х примем скорость течения реки.

Заполняем таблицу:

v t s
По течению 15+х 200/15+x 200
Против течения 15-х 200/15-x 200

 

 

 

Т.к. в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него и стоянка длится 10 часов, то

 

 

х=5

Ответ:5.

 

Задача 3.

Расстояние между городами A и B равно 470 км. Из города A в город B выехал первый автомобиль, а через 3 часа после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 350 км от города A. Ответ дайте в км/ч.

Решение

Пусть скорость первого автомобиля х км/ч.

v t s
1 x 350/x 350
2 60 120:60=2 470-350=120

 

 

 

Т.к. первый автомобиль был в пути на 3 ч больше второго, то

 

х=70

Ответ6 70

 

2. Задачи на работу

 

Задачи на работу требуют использования формулы А = Р·t, где А объем работы, Р - производительность, t - время.

Учитываем, что производительность при выполнении разных работ (отдельной или совместной) не изменяется.

 

 

 

 

 

Задача 4.

На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение

Обозначим за х время работы 1-го рабочего на выполнение своей работы.

Заполняем таблицу:

P t A
1 475/x x 475
2 550/x+6 x+6 550

 

Учитывая, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй, получаем уравнение:

 

 

Решаем уравнение:   475(х+6) - 550х = 3х(х+6)

x = 19

Отвечаем на вопрос задачи:

475/x =25

Ответ: 25.

Задача 5.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Игорь и Паша красят забор за 9 часов а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

 

Решение

В таких задачах удобно всю работу (покраску забора) принять за 1.

Пусть производительность Игоря х, Паши - y, Володи - z.

Заполняем 3 таблицы согласно  трем условиям.

Игорь и Паша красят забор за 9 часов

P t A
Игорь х 9 9x
Паша y 9 9y

 

 

 

Игорь и Паша красят забор за 9 часов

P t A
Володя z 12 12z
Паша y 12 12y

 

 

Володя и Игорь — за 18 часов

P t A
Володя z 18 12z
Игорь х 18 18х

Т.к. в каждом случае они вместе выполняли всю работу, то

 

 

Сложим почленно эти уравнения

 

 

 

 

 

Итак, вместе за 1 час они покрасят 1/8 часть забора.

Значит, весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8.

 

3. Задачи на смеси

 

В задачах на смеси надо понимать, что смесь состоит из частей и какая часть чаще всего сохраняется при переливании.

 

 

 

 

Задача 6.

Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Примем за х массу первого сплава.

Составим таблицу согласно условию задачи и заполним ее, проводя решение.

сплав Масса всего Меди в % Меди в кг
1 х 10 0,1х
2 х+3 40 0,4(х+3)
3 2х+3 30 0,3(2х+3)

Примем во внимание, что третий сплав получился из слияния первого и второго сплавов:

0,1х + 0,4(х+3) = 0,3(2х+3)

Решая уравнение, получаем, что х = 3.

Отвечаем на вопрос задачи 0,3(2х+3) = 2,7

Ответ: 2,7.

 

 

Задача 7.

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

сосуд Масса всегор-ра Кислотыв % Кислотыв кг
1 30 х 0,3x
2 20 y 0,2y
3 50 68 50·0,68 = 34

Решение

Первое уравнение:  0,3x + 0,2y = 34

Если же смешать равные массы этих растворов (допустим, по 10):

сосуд Масса всегор-ра Кислотыв % Кислотыв кг
1 10 х 0,1x
2 10 y 0,1y
3 20 70 20·0,7 =14

Второе уравнение: 0,1x + 0,1y = 14

Решаем систему.

х = 60, y = 80.

Отвечаем на вопрос задачи

Ответ: 60.

 4. Экономическая задача с процентами

 

С задачами с процентами мы уже разбирались на примерах задания 1. Только здесь эти задачи посложнее.

 

 

 

 

 

Задача 8.

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение

Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, т.е. изменилась бы на зарплату мужа, то общий доход семьи вырос бы на 67%.

Значит, зарплата мужа составляет  67% бюджета семьи.

Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, т.е. изменилась бы на 2/3 стипендии дочери, то общий доход семьи сократился бы на 4%.

Значит, 2/3 стипендии составляет 4% бюджета.А вся стипендия - 6%.

Доход жены: 100 - (67 + 6) = 27

Ответ: 27%.

 

Задача 9.

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%.

100% - стоимость куртки.

Четыре рубашки - 92%

1 рубашка - 23%

5 рубашек - 115 %

Это больше стоимости куртки на 15 %.

Ответ: 15.

 

Задача 10.

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Решение

Митя внес 14% уставного капитала

Антон  — 42000 рублей - это составляет 21% от общего капитала в 200000 рублей.

Гоша  — 0,12 уставного капитала, что равно 1 %.

Митя, Антон и Гоша вместе внесли 47% всего капитала.

Борис внес 100 - 47 = 53%, значит и прибыль он получит в 53% от 1000000.

Это составляет 530000 рублей

Ответ: 530000.

 

Задача 11.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Решение

При получении изюма теряется влага, а сухое вещество остается неизменным.

Виноград содержит 10% сухого вещества, изюм - 95%,

Надо получить изюма 20 кг. В нем будет 0,95·20 = 19 кг сухого вещества.

Это составляет 10% от всего винограда.

Весь виноград  - 190 кг.

Ответ: 190.

 

Задача 12.

Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Решение

300% = 3.

В 2001 году Бубликов получил прибыль 2000·3 и заработал всего  2000·3+2000 = 2000·(3 +1) =  2000·4

В 2002 году - прибыль  2000·4·3 и заработал  2000·4·4  и т.д.

В 2003 году Бубликов заработал 2000·4·4·4 = 128000 рублей

Ответ: 128000.

 

_________________________________________________________________________

 

Видеорешение

 

 

_______________________________________________________________________

Закрепление (самостоятельная работа)

Теперь порешайте задачи типа В13 из сборника "3000 задач с ответами" самостоятельно.

Задачи по этой теме найдете на странице 237, а ответы к ним - на станице 531.

К Прототипам задания В13

 

 

 

 

 

 

 

Если вам необходимо узнать ответ или решение какой-либо задачи, обращайтесь в комментариях, я добавлю.

 

______________________________________________________________________________________________

Тестирование

test

 

 

 

Если возникли трудности, обращайтесь за помощью к учителю.

 

[contact-form] [contact-field label="Ваше имя" type="text" required="true" /] [contact-field label="email" type="text" required="true" /] [contact-field label="Сообщение" type="text" required="true" /] [/contact-form]

Если у вас есть вопросы и пожелания, которые будут полезны другим читателям, прошу писать в комментариях ниже. Они не будут оставлены без моего внимания.

Вы можете оставить комментарий, или ссылку на Ваш сайт.

Оставить комментарий

Проверка комментариев включена. Прежде чем Ваши комментарии будут опубликованы пройдет какое-то время.

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.