ЕГЭ. Задание В1.9 Пропорции

Пропорции

При решении арифметических задач часто удобно использовать пропорции.

Пропорция - это равенство двух отношений (дробей).


\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
Решаем пропорцию, используя основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних членов:

a·b=c·d, откуда находим

a=\frac{b\cdot c}{d}   или b=\frac{a\cdot d}{c}  или c=\frac{a\cdot d}{b} или d=\frac{b\cdot c}{a}.
prop3Т.е. чтобы найти крайний член пропорции, надо умножить средние члены и разделить на известный крайний член.

Чтобы найти  средний член пропорции, надо умножить крайние члены и разделить на известный средний член.

 

Важно помнить, что перед составлением пропорции надо правильно записать данные: величины с одинаковым наименованием друг за другом (километры под километрами, часы под часами, проценты под процентами и т.д.)

 

Задача 1.

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение.

Составим краткую запись задачи

v1

 

 

 

 

 

Составим пропорцию, обозначив неизвестную величину за x:

\frac{21}{7}=\frac{5,1}{x}

Находим крайний член пропорции: x=\frac{7\cdot 5,1}{21}

Сокращаем дробь (всегда не рекомендую сразу умножать: это сделать никогда не поздно):

x=\frac{1 5,1}{3}=1,7

Ответ: 1,7

С помощью пропорций можно переводить единицы измерения из одной в другую. Например, переведем 80º в радианы:

v1-2

 

 

 

 

 

 

Можно использовать пропорции при решении геометрических задач.

Задача 2.

На клетчатой бумаге изображен круг. v1-3

Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 277?

 

Заметим, что незаштрихованная часть соответствует углу 90º. Тогда заштрихованная часть 360º - 90º = 270º.

v1-4

 

 

Тогда площадь круга равна \frac{360 27}{270}=36

Ответ: 36.

 

И, конечно используем пропорции для решения задач на проценты.

 

Задача 3.

После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Площадь всего поля примем за 100%.

v1-5

 

 

 

 

Находим неизвестный крайний член пропорции:

x=\frac{9 100}{18}=50

Ответ: 50.

 

Следует оградить вас от ошибки думать, что пропорции составляются точно так, как они записаны в таблице.

Дело в том, что величины могут быть не только прямо пропорциональными, но и обратно пропорциональными.

Величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной величины в несколько раз, увеличивается и другая величина во столько же раз.

Пример: время и расстояние при постоянной скорости, цена и стоимость товара.

Величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной величины в несколько раз, другая величина уменьшается во столько же раз.

Пример: время и скорость для прохождения определенного пути, цена и количество товара при определенной стоимости.

 

Задача 4.

Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет это же расстояние со скоростью 60 км/ч?

v1-6

 

Было бы не верно составить такую пропорцию:

\frac{3}{x}=\frac{80}{60}

Мы бы получили 2,25 ч, что не соответствует истине.

В самом деле, чем медленнее едешь, тем больше

времени потратишь на дорогу, а у нас получится не так.

Итак, надо понять, что эти величины обратно пропорциональны: с увеличением скорости в несколько раз, будет уменьшаться время во столько же раз. Поэтому пропорцию правильно записать так:

\frac{3}{x}=\frac{60}{80}

Откуда x=\frac{3 80}{60}=4.

Ответ: 4.

 

В следующих задачах прежде, чем составлять пропорцию, будем уточнять, о какой пропорциональности идет речь.

Задача 5. При выпечке хлеба из килограмма ржаной муки получается 1,4 кг хлеба. Сколько килограммов муки расходует завод на выпечку 21 ц хлеба?

Решение.

Эти величины прямо пропорциональные, т.к. при увеличении количества муки увеличивается количество хлеба в одно и то же число раз.

v1-8

Ответ: 1500.

 

Задача 6. Таксист за месяц проехал 9000 км. Стоимость 1 л бензина 22,5 р. Средний расход бензина на 100 км составляет 8 л. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

Решение.

1) 1 л бензина -  22,5 р.

8 л                -  ?

22,5·8 = 180 р    на 100 км

2) 180 р  -     на 100 км

? р      -          9000 км

180·9000/100 = 16200 р

Ответ  16200.

 

Задача 7. Водитель за месяц проехал 8500 км. Стоимость одного литра бензина равна 22 рубля. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил водитель на бензин за этот месяц?

Решение:

9 л – 100 км

х л – 8500 км

х = 8500 ∙ 9 : 100 = 765 л

1 л – 22 руб.

765 л – х  руб

х = 765 ∙ 22 = 16830 руб

Ответ: 16830.

Читайте дальше и вы узнаете (или вспомните), как решать такие задачи.

 

button1

 

 

 

Если у вас возникли вопросы или пожелания, пишите в комментариях.

 

Copy Protected by Chetan's WP-Copyprotect.